Закона падающего тела

Закона падающего тела

 

1.5. Свободное падение тел

 

Свободным падением тел называют падение тел на Землю в отсутствие сопротивления воздуха (в пустоте). В конце XVI века знаменитый итальянский ученый Г. Галилей опытным путем с доступной для того времени точностью установил, что в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают на Землю равноускоренно, и что в данной точке Земли ускорение всех тел при падении одно и то же . До этого в течение почти двух тысяч лет, начиная с Аристотеля, в науке было принято считать, что тяжелые тела падают на Землю быстрее легких.

Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением свободного падения . Вектор ускорения свободного падения обозначается символом

он направлен по вертикали вниз. В различных точках земного шара в зависимости от географической широты и высоты над уровнем моря числовое значение g оказывается неодинаковым, изменяясь примерно от 9,83 м/с 2 на полюсах до 9,78 м/с 2 на экваторе. На широте Москвы g=9,81523 м/с 2 . Обычно, если в расчетах не требуется высокая точность, то числовое значение g у поверхности Земли принимают равным 9,8 м/с 2 или даже 10 м/с 2 .

Простым примером свободного падения является падение тела с некоторой высоты h без начальной скорости. Свободное падение является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли, то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использовать формулу (*) §1.4, положив υ0=0 , y 0=h , a=– g . Обратим внимание на то, что если тело при падении оказалось в точке с координатой y 0 , a=– g . Это дает:

Через время υ0 / g скорость тела υ обращается в нуль, т. е. тело достигает высшей точки подъема. Зависимость координаты y от времени t выражается формулой

Тело возвращается на землю ( y=0 ) через время 2υ0 / g , следовательно, время подъема и время падения одинаковы. Во время падения на землю скорость тела равна –υ0 , т. е. тело падает на землю с такой же по модулю скоростью, с какой оно было брошено вверх.

physics.ru

Правда ли, что при падении с 5 этажа человек наберет такую же скорость, что и при падении с высоты 1000 метров?

Не совсем. Правильное утверждение должно звучать так: правда, что при падении с 47-го этажа человек набирает такую же скорость, как и при падении с 1 000, 10 000, 100 000 метров и т.д.

А теперь обо всем по порядку.

Итак, на падающее тело действует сила притяжения Земли и ускорение тела в следствие действия только этой силы равно ускорению свободного падения g. Но существует также сопротивление воздуха или сила вязкого трения газа (воздуха в нашем случае). Последняя сила пропорциональна скорости тела (или ее квадрату для больших скоростей), а значит для больших скоростей ей уже нельзя пренебречь. И так как сопротивление возрастает с ростом скорости, то ясно, что существует какая-то предельная скорость при которой сила трения уравновесит силу тяжести. А в этом случае, как мы знаем из первого закона Ньютона, тело будет двигаться равномерно и прямолинейно, то есть эта предельная скорость уже не изменится до самогó момента приземления.

Конечно на силу сопротивления воздуха влияет и парусность падающего тела, но это уже явление следующего порядка.

Для парашютиста, летящего плашмя, предельная скорость — 190 км/ч или 53 м/с. Давайте теперь сравним ее со скоростями приземления при падении с указанных в вопросе высот без учета сопротивления воздуха.

Кажется Илья забыл школьную физику:)

Найти конечную скорость падения в нашем случае очень просто. По закону сохранения энергии, кинетическая энергия равна потенциальной:

где m — это масса тела (она сокращается и не важна), v — искомая скорость, h — высота падения. Отсюда сразу получаем выражение для скорости v:

где sqrt — квадратный корень.

Значит при падении с 5-го этажа (15 метров) конечная скорость равна примерно 17 м/c. А для 1000 м ответ — 141 м/c. Сравнивая их с предельной скорость падения, мы видим, что в первом случае скорость меньше, а во втором — больше. Это значит, что для 15 метров можно не делать поправки на вязкое трение и считать, что конечная скорость примерно такая и есть — 17 м/c. А при падении с 1000 метров, уже нельзя не учитывать сопротивление воздуха, и скорость приземления в этом случае будет равна предельной скорости — 53 м/c.

Так что ответ на ваш вопрос — нет, не правда. Но давайте теперь, ради интереса, оценим, начиная с какого значения высоты, конечная скорость перестает меняться. Для этого из самой первой формулы надо выразить h и подставить в нее значение предельной скорости:

Получаем примерно 140 метров, а это и есть 47-ой этаж из начала моего ответа.

Напоминаю, что это примерная оценка и только для случая падения человека плашмя. Для падения «солдатиком» предельная скорость порядка 240 км/ч. Вы можете проделать все те же вычисления для этого случая.

thequestion.ru

Свободное падение

Со времен Аристотеля считалось, что более тяжелые тела падают быстрее легких.

Если одно тело, например, в сто раз тяжелее другого, то, согласно Аристотелю, оно и падать должно в сто раз быстрее (и если они одновременно упадут с высоты ста локтей, то к моменту, когда более тяжелое долетит до земли, более легкое пролетит лишь расстояние в один локоть, отстав от первого на 99 локтей). Почему он так думал, неизвестно. Никаких специальных опытов Аристотель не проводил. По словам О. Лоджа, «ему, возможно, припомнились камень и пушинка, и он удовлетворился». Удовлетворились этим и все остальные. Взгляды Аристотеля казались людям настолько естественными и очевидными, что на протяжении последующих восемнадцати столетий почти никто не подвергал их сомнению.

Однако в 1553 г. итальянский ученый Джовани Бенедетти опубликовал статью, в которой заявил, что, вопреки Аристотелю, два тела одинаковой формы и одинаковой плотности, но разного веса в одной и той же среде проходят равные расстояния за равное время. Это утверждение требовало опытного подтверждения. Поэтому начиная с конца XVI в. то в одном, то в другом месте разные ученые начинают проводить опыты, сбрасывая тяжелые предметы с высоких башен. Самые первые из них проводились в Пизе со знаменитой падающей башни (рис. 103). Согласно легенде, впервые это сделал Галилей. «В одно прекрасное утро,— пишет О. Лодж,— в присутствии всего университета он поднялся на известную падающую башню, взяв с собой два ядра: стофунтовое и однофунтовое. Он установил их на краю башни и отпустил оба одновременно. Они полетели вместе и вместе же достигли земли. Глухой удар падающих ядер о землю прозвучал как похоронный звон над старой системой физики и возвестил о зарождении новой».

Когда один из сторонников теории Аристотеля упрекнул Галилея в том, что, говоря об одновременном падении тяжелого и легкого шаров, тот искажает истину, ученый ответил: «Проделав опыт, вы найдете, что больший опередит меньший на два пальца, так что когда больший упадет на землю, то меньший будет от нее на расстоянии толщины двух пальцев.

Этими двумя пальцами вы хотите закрыть девяносто девять локтей Аристотеля и, говоря о моей небольшой ошибке, умалчиваете о громадной ошибке другого. Причина различной скорости падения тел различного веса не заключается в самом их весе, а обусловливается внешними причинами — главным образом сопротивлением среды, так что если бы устранить последнее, то все тела падали бы одинаково быстро».

Это действительно так, и если проводить опыт с падением тел в трубке, из которой откачан воздух, то мы увидим, что легкое перышко упадет так же быстро, как и свинцовая дробинка. В процессе падения они пролетят одно и то же расстояние за одно и то же время и коснутся дна трубки в один и тот же момент времени. Поскольку путь находится по формуле s=at 2 /2, то из одновременности падения тел следует, что их движение происходит с одним и тем же ускорением.

Напомним, что падение тел под действием только поля тяжести (в отсутствие сопротивления воздуха) называют свободным падением, а ускорение, с которым оно происходит, обозначают буквой g и называют ускорением свободного падения.

Обобщенный закон Галилея гласит:

В одном и том же гравитационном поле свободное падение всех тел, независимо от их массы и объема, происходит с одним и тем же ускорением.

Строгое доказательство этого закона можно дать на основе закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона. Согласно второму закону Ньютона, ускорение свободного падения равно отношению силы тяжести, действующей на падающее тело, к его массе:

Подставляя в эту формулу выражение (42.2), получаем

где r — расстояние от тела до центра Земли (r=Rз + h). Масса падающего тела m здесь сократилась и в формулу (43.1) не вошла. Это и означает, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела (а также от его объема, плотности и других характеристик) и поэтому для всех тел оказывается одинаковым. Как заметил известный американский физик Ю. Вигнер, эта удивительная закономерность «наблюдается безотносительно к тому, идет ли дождь или нет, проводится ли эксперимент в закрытой комнате или камень бросают с Пизанской падающей башни и кто бросает камень — мужчина или женщина».

Из формулы (43.1) видно, что с удалением тела от Земли ускорение свободного падения g убывает. Вблизи поверхности Земли (когда h 2 ) (43.2)

и составляет примерно 9,8 м/с 2 . Это среднее значение ускорения. Из-за сплюснутости Земли, а также из-за ее вращения вокруг своей оси ускорение свободного падения на разных широтах оказывается различным: на экваторе, например, оно равно 9,780 м/с 2 , а на Северном полюсе — 9,832 м/с 2 .

Для определения ускорения свободного падения в том или ином конкретном месте можно воспользоваться нитяным маятником. Период свободных колебаний такого маятника, как известно, находится по формуле

Зная длину нити l и измерив период колебаний T, можно с помощью этой формулы найти ускорение свободного падения g.

Подставляя в формулу (43.2) значения g=9,8 м/с 2 , Rз=6,4 · 10 6 м, G=6,67 · 10 –11 Н · м 2 /кг 2 , можно определить массу Земли Mз. Впервые это было сделано Генри Кавендишем, который после этого с гордостью заявил, что «взвесил Землю».

Из-за неоднородного строения земной коры и недр, горных массивов и впадин, а также залежей полезных ископаемых местные значения g могут отличаться от их средних значений gср. Разности значений g и gср называются гравитационными аномалиями:

Положительные аномалии (когда g > gcp) часто свидетельствуют о залежах металлических руд, а отрицательные (когда g < gср) — о залежах легких полезных ископаемых, например нефти и газа.

Метод нахождения залежей полезных ископаемых по точному измерению ускорения свободного падения широко применяется на практике и носит название гравиметрической разведки.

. 1. Что называют свободным падением? 2. Сформулируйте и докажите обобщенный закон Галилея. Какие опыты его подтверждают? 3. От чего зависит ускорение свободного падения? 4. На каком этаже высотного здания — первом или последнем — тела падают с большим ускорением? 5. Где ускорение свободного падения больше — на полюсе или экваторе? Почему? 6. На чем основана гравиметрическая разведка полезных ископаемых? Из-за чего возникают гравитационные аномалии? 7. Каким образом Кавендиш «взвесил» Землю? Вычислите массу Земли.

phscs.ru

Второй закон Ньютона устанавливает связь между силой (mathbf,) действующей на тело массы (m,) и ускорением (mathbf,) которое приобретает тело под действием этой силы.

При движении твердого тела в жидкой или газообразной среде на него действует сила сопротивления (или вязкого трения). При малых скоростях (mathbf) эта сила пропорциональна скорости (mathbf:) [mathbf=— kmathbf.] Коэффициент (k,) в свою очередь, пропорционален вязкости среды (eta.) В частности, если тело имеет шарообразную форму, то сила сопротивления описывается законом Стокса : [mathbf=— 6pi eta Rmathbf,] где (R) − радиус шара, (eta) − вязкость среды.

При таком режиме движения второй закон Ньютона записывается (в одномерном приближении) в виде следующего дифференциального уравнения: [mfrac<<x>><>>=mfrac<>< ^2>

>=— kv.] Интегрируя это уравнение при начальном условии (vleft( right)=,) получаем [ <frac<>=— fracdt,>;; <Rightarrow intlimits_<>^v <frac<>>=— fracintlimits_0^t .> ] Здесь (u) и (tau) − переменные интегрирования. Скорость тела изменяется от () до (v) за время от (0) до (t.) Следовательно, [ <ln v — ln=— fract,>;; <Rightarrow ln frac<<>>=— fract,>;; <Rightarrow vleft( t right)=normalsize>t>>.> ] Таким образом, если сила сопротивления среды пропорциональна скорости тела, то его скорость будет уменьшаться по экспоненциальному закону.

 

Закон движения (xleft( t right)) легко определяется повторным интегрированием: [ + intlimits_0^t >=<+ intlimits_0^t <normalsize>tau >>dtau > >=<— frac<>>left( <normalsize>t>> — 1> right) >=<+ frac<>>left( <1 — normalsize> t>>> right).> ] Из последней формулы видно, что путь пройденный телом до полной остановки, будет равен (largefrac<>>normalsize,) т.е. пропорционален начальному импульсу тела (m.)^^^left(>left(>

При увеличении скорости движения тела физика процесса изменяется. Кинетическая энергия тела начинает расходоваться не только на трение между слоями жидкости, но и на перемещение объема жидкости впереди тела. В этом режиме сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: [F=— mu rho S,] где (mu) − коэффициент пропорциональности, (S) − площадь поперечного сечения тела, (rho) − плотность среды.^2>

Описанный нелинейный режим возникает при условии [mathbf<text>=frac<<rho vL>> <eta >> 100,] где (mathbf<text>) − безразмерное число Рейнольдса , (eta) − вязкость среды, (L) − характерный поперечный размер, например, радиус тела.

Рассматривая одномерное движение, запишем второй закон Ньютона для этого случая в виде [mfrac<<x>><>>=mfrac<>< ^2>

^tau>>=— mu rho S.] Интегрируя, находим закон изменения скорости: [ <frac<><<>>=— frac<<mu rho S>>dt,>;; <Rightarrow intlimits_<>^v <frac<><<>>>=— frac<<mu rho S>>intlimits_0^t .> ] Здесь (u) и (tau) снова обозначают переменные интегрирования. За время (t) скорость тела будет уменьшаться от начального значения () до конечного значения (v.) В результате получаем [ <- left( <frac<1> — frac<1><<>>> right)=— frac<<mu rho S>>t,>;; <Rightarrow frac<1>=frac<1><<>> + frac<<mu rho S>>t,>;; <Rightarrow vleft( t right)=frac<1><<frac<1><<>> + frac<<mu rho S>>t>>=frac<<>><<1 + frac<<mu rho S>>t>>.> ] Интегрируем еще раз, чтобы найти закон движения (xleft( t right):) [require >><<1 + frac<<mu rho S>>tau >>dtau > >=<intlimits_0^t <frac<<cancel>><<1 + frac<<mu rho S>>tau >>frac<>>tau > right)>><<frac<<mu rho Scancel>>>>> >=<frac<<mu rho S>>intlimits_0^t <frac<>>tau > right)>><<1 + frac<<mu rho S>>tau >>> >=<frac<<mu rho S>>left[ <left. <ln left( <1 + frac<<mu rho S>>tau > right)> right|_0^t> right] >=<frac<<mu rho S>>ln left( <1 + frac<<mu rho S>>t> right).> ] Необходимо учитывать, что полученные формулы справедливы при достаточно больших значениях скорости: при снижении скорости данная модель становится физически некорректной, поскольку сила сопротивления начинает линейно зависеть от скорости (Этот случай был рассмотрен нами ранее).

 

Сила упругости (F=-kx;)

Сила гравитационного притяжения (F=— Glargefrac<<>><<>>normalsize.)^2>

Движение тела массой (m) (груза на пружинке) под действием силы упругости будет определяться дифференциальным уравнением [mfrac<<x>><>>=— kx;;text<или>;;frac<<x>><>> + fracx=0.] Это уравнение описывает незатухающие периодические колебания с периодом [T=2pi sqrt <frac> .] В случае гравитационного притяжения движение тела описывается нелинейным дифференциальным уравнением [frac<<x>><>>=— Gfrac<<>>,] где (M) − масса притягивающего тела (например, масса Земли или Солнца), (G) − универсальная гравитационная постоянная.^2>^2>^2>^2>

Решение этого уравнения приводится на странице Закон всемирного тяготения .

В случае, когда сила зависит от координаты, ускорение удобно представить в таком виде: [a=frac<><

left(>left(>left(>tau>^2>^2>^2>>=frac<><>frac<>< >=vfrac<><>.] Тогда дифференциальное уравнение можно записать как [mfrac<<x>><>>=mfrac<>< ^2>>=mvfrac<><>=Fleft( x right).] Разделяя переменные (v) и (x,) получаем [ ;; <Rightarrow mintlimits_<>^v=intlimits_0^L ,>;; <Rightarrow frac<>> <2>— frac<> <2>=intlimits_0^L .> ] Последнее равенство выражает закон сохранения энергии . Левая часть описывает изменение кинетической энергии, а правая часть − работу переменной силы () при перемещении тела на расстояние (L.)

 

Последующее интегрирование функции () позволяет найти закон движения тела (.) К сожалению, это не всегда можно сделать аналитически из-за громоздкости выражения для (.)left(>left(>left(>

В проекции на ось (Ox) уравнение динамики записывается в виде: [mfrac<<x>><>>=mg — kfrac<>< ^2>

left(>left(>^2>left(>>.] Задача представляет собой вариацию случая (2,) когда сила зависит от скорости.

 

Сначала определим закон изменения скорости () из уравнения [mfrac<>< left(>

>=mg — kv,;; Rightarrow frac<>< >=g — fracv.] Разделяя переменные, получаем [frac<><v>>=dt,;; Rightarrow intlimits_0^v <frac<><u>>>=t.] Здесь (v) означает скорость в момент (t,) (u) − переменная интегрирования. Решение имеет следующий вид: [ <- fracintlimits_0^v <frac<u> right)>><u>>>=t,>;; <Rightarrow — fracleft. <left[ <ln left( u> right)> right]> right|_0^v=t,>;; <Rightarrow ln frac<u>>=— fract,>;; <Rightarrow ln left( <1 — frac<>v> right)=— fract,>;; <Rightarrow 1 — frac<>v=normalsize> t>>,>;; <Rightarrow frac<>v=1 — normalsize> t>>,>;; <Rightarrow vleft( t right)=frac<>left( <1 — normalsize> t>>> right).> ] Интегрируем еще раз: [ >intlimits_0^t <left( <1 — normalsize> tau >>> right)dtau > >=<frac<>left[ <left( normalsize> t>>> right) — left( <0 + fracnormalsize>0>>> right)> right] >=<frac<>left[ left( <1 — normalsize> t>>> right)> right].> ] Допустим, что тело в момент (t=T) достигает поверхности Земли, т.е. проходит путь (x=H.) Как видно, время (T) определяется неявным алгебраическим уравнением [H=frac<>left[ left( <1 — normalsize>T>>> right)> right].] Значение (T) можно оценить приближенно, учитывая, что член (<normalsize> T>>>) стремится к нулю при больших (T.) Тогда [ >left( > right)>;; <text<или>;;Tleft( H right) approx frac<><> + frac.> ] Полученная приближенная зависимость (Tleft( H right)) является линейной, то есть соответствует равномерному движению тела. Ее график (при (m=1;text<кг>,) (k=1;text <Н>cdot largefrac<text<с>><text<м>>normalsize)) показан выше на рисунке (2) (красная прямая (3)). На этом же рисунке для сравнения показаны два других графика (Tleft( H right),) описывающих:

 

 

падение тела в поле тяжести без учета сопротивления воздуха (синяя кривая (1)). В этом случае зависимость (Tleft( H right)) определяется формулой (T=sqrt <largefrac<<2H>>normalsize> 😉

точное решение нелинейного алгебраического уравнения для (T) (зеленая кривая (2)).

Из этих графиков видно, что сила сопротивления воздуха практически компенсирует силу тяжести уже через несколько секунд после начала падения. После этого движение тела происходит равномерно. Поэтому при падении с большой высоты (в данном примере это более (20;text<м>)) для оценки времени падения вполне можно использовать приближенную формулу (Tleft( H right).)

силой тяжести (P=largefrac<>normalsize,) где (x) − длина части цепочки, свисающей со стола, (m) − масса цепочки, (L) − ее длина, (g) − ускорение свободного падения;

силой трения (>>=— mu mglargefrac<>normalsize,) где (mu) − коэффициент трения. Сила трения действует лишь на часть цепочки, лежащую на столе. Длина этой части равна (L — x.)

Согласно второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения цепочки имеет вид: [ x>><>>=P — >>,>;; <Rightarrow mfrac<<x>><>>=mgfrac— mu mgfrac<>,>;; <Rightarrow frac<<x>><>>=gfrac— mu gfrac<>,>;; <Rightarrow frac<<x>><>> — frac <<left( <1 + mu >right)g>>x=— mu g.> ] Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Найдем решение этого уравнения. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение: [frac<<x>><>> — frac <<left( <1 + mu >right)g>>x=0.] Корни характеристического уравнения имеют следующие значения: [ — frac <<left( <1 + mu >right)g>>=0,;; Rightarrow >=pm sqrt <frac<<left( <1 + mu >right)g>>> .] Тогда общее решение однородного уравнения записывается как [=right)g>>normalsize> t>> + right)g>>normalsize> t>>.] Постоянные (, ) мы определим позже из начальных условий.^^^2>^2>^2>^2>^2>frac

Построим теперь частное решение неоднородного уравнения. В правой части находится постоянное выражение, поэтому будем искать частное решение также в виде постоянного числа: (=A.) Подставляя (=A,) (=0) в исходное уравнение, получаем: [ <0 — frac<<left( <1 + mu >right)g>>A=— mu g,>;; <Rightarrow A=frac<<mu cancelL>> <<left( <1 + mu >right)cancel>>=frac<<mu L>><<1 + mu >>.> ] Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид: [ + >=< right)g>>normalsize> t>> + right)g>>normalsize> t>> > + <frac<<mu L>><<1 + mu >>.> ] Рассмотрим начальные условия и определим коэффициенты () и (.) Поскольку цепочка находилась в равновесии, то справедливо равенство [P=>>,;; Rightarrow mgfrac=mu mgfrac<>.] Отсюда следует, что длина свисающей части цепочки при равновесии составляет [x=frac<<mu L>><<1 + mu >>.] По условию задачи в начальный момент цепочка получает дополнительное смещение (varepsilon,) так что начальные условия записываются в виде: [left< begin xleft( right)=frac<<mu L>><<1 + mu >> + varepsilon \ vleft( right)=0 end right..] Теперь можно вычислить коэффициенты () и (:) [ <left< begin cdot 1 + cdot 1 + cancel<frac<<mu L>><<1 + mu >>>=cancel<frac<<mu L>><<1 + mu >>> + varepsilon \ cdot sqrt <frac<<left( <1 + mu >right)g>>> — cdot sqrt <frac<<left( <1 + mu >right)g>>>=0 end right.,>;; <Rightarrow left< begin +=varepsilon \ —=0 end right.,>;; <Rightarrow==frac<varepsilon ><2>.> ] Таким образом, скольжение цепочки описывается законом [=<frac<varepsilon ><2> right)g>>normalsize> t>> + frac<varepsilon ><2> right)g>>normalsize> t>> > + <frac<<mu L>><<1 + mu >>.> ] Цепочка полностью соскользнет со стола в момент времени (T,) когда (xleft( T right)=L.) В результате для определения (T) получаем следующее алгебраическое уравнение: [ <frac<varepsilon ><2> right)g>>normalsize> T>> + frac<varepsilon ><2> right)g>>normalsize> T>> > + <frac<<mu L>><<1 + mu >>=L.> ] Выражение для (T) можно записать в явном виде. Для этого умножим уравнение на ( right)g>>normalsize> T>>:) [frac<varepsilon ><2> right)g>>normalsize> T>> — frac<<1 + mu >> right)g>>normalsize> T>> + frac<varepsilon > <2>=0.] Обозначив (z=right)g>>normalsize> T>>,) приходим к квадратному уравнению: [ <varepsilon — frac<<2L>><<1 + mu >>z + varepsilon=0,>;; <Rightarrow D=frac<<4>> <<<<left( <1 + mu >right)>^2>>> — 4<varepsilon ^2>,>;; <Rightarrow >=frac<<frac<<2L>><<1 + mu >> pm sqrt <frac<<4>> <<<<left( <1 + mu >right)>^2>>> — 4<varepsilon ^2>> >><<2varepsilon >> >=<frac <<left( <1 + mu >right)varepsilon >> pm sqrt <frac<<>> <<<<left( <1 + mu >right)>^2><varepsilon ^2>>> — 1> .> ] Здесь нас устраивает лишь корень со знаком (+,) чтобы соблюдалось неравенство [ right)g>>normalsize> T>> > right)g>>normalsize> T>>.] Следовательно, решение имеет вид [ <right)g>>normalsize> T>>=frac <<left( <1 + mu >right)varepsilon >> + sqrt <frac<<>> <<<<left( <1 + mu >right)>^2><varepsilon ^2>>> — 1> ,>;; <Rightarrow T=sqrt <frac <<left( <1 + mu >right)g>>> ln left[ <frac <<left( <1 + mu >right)varepsilon >> + sqrt <frac<<>> <<<<left( <1 + mu >right)>^2><varepsilon ^2>>> — 1> > right].> ] Интересно, что в данной модели время соскальзывания (T) существенно зависит от величины начального смещения (varepsilon) относительно положения равновесия. При (varepsilon to 0) формально получаем (T to infty.) Зависимости времени соскальзывания (T) от смещения (varepsilon) для цепочек разной длины (L) показаны выше на рисунке (4.)^2>^2>^^^^2>^2>^2>^2>^^^^^^^^left(>^^»_1>

www.math24.ru

Работа падающего тела

В гл. 4 мы разобрали вопрос о сохранении энергии. При этом законами Ньютона мы не пользовались. Интересно теперь посмотреть, как возникает сохранение энергии из-за того, что действуют эти законы. Для ясности мы начнем с самых простых примеров и постепенно будем их усложнять.

Простейший пример сохранения энергии — это тело, падающее вниз, т. е. тело, движущееся только в вертикальном направлении. Если оно меняет свою высоту под влиянием только тяжести, то из-за движения оно обладает кинетической энергией Т (или к. э.) Кроме того, у него есть потенциальная энергия mgh (сокращенно U, или п. э.). Их сумма постоянна:

Мы хотим показать, что это утверждение правильно. Что значит доказать его правильность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она растет пропорционально времени, а высота падения меняется как квадрат времени). Если поэтому отмерять высоту от нулевой точки (где тело покоилось), то не будет ничего странного в том, что она окажется равной квадрату скорости, умноженному на какие-то постоянные. Однако все же рассмотрим это повнимательней.

Попробуем вычислить прямо из второго закона Ньютона, как обязана меняться кинетическая энергия; мы продифференцируем кинетическую энергию по времени и потом применим закон Ньютона. Дифференцируя 1/2 mv 2 по времени, получаем

потому что m считается постоянной. Но по второму закону Ньютона m(dv/dt)=F, так что

В общем случае получается F*v, но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость.

Сила в нашем простом примере постоянна, равна —mg и направлена вниз (знак минус именно это и показывает), а скорость есть степень изменения положения по вертикали (высоты h) со временем. Поэтому степень изменения кинетической энергии равна —mg(dh/dt). Взгляните: что за чудо! Перед нами снова чья-то скорость изменения — скорость изменения со временем величины mgh! Поэтому выходит, что с течением времени изменения в кинетической энергии и в величине mgh остаются равными и противоположными, так что их сумма остается неизменной. Что и требовалось доказать.

Мы только что показали, пользуясь Вторым законом Ньютона, что для постоянных сил энергия сохраняется, если только прибавлять потенциальную энергию mgh к кинетической 1/2mv 2 . Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим, можно ли его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно падающих тел или является более общим? Из того, что мы знаем о сохранении энергии, можно ожидать, что он будет верен для тела, движущегося из одной точки в другую по кривой без трения и под действием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав двигаться с высоты Н, достигает высоты h, то опять должна быть верной та же формула, хотя бы скорость уже не была направлена по вертикали. Нам надо понять, почему она все еще правильна. Проведем тот же анализ; отыщем скорость изменения кинетической энергии во времени. Опять будет получаться mv(dv/dt) — скорость изменения величины импульса, т. е. сила в направлении движения — касательная сила Ft. Итак,

Скорость — это скорость изменения расстояния вдоль кривой ds/dt, а касательная сила Ft теперь оказывается меньше mg в отношении, равном отношению расстояния ds вдоль пути к вертикальному расстоянию dh. Иными словами,

(ds выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину -mg(dh/dt), равную скорости изменения mgh.

Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохранение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полезные понятия.

Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергии в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна
T=1/2*m(v 2 x + v 2 y + v 2 z).

Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:

Но ведь m(dvx/dt) — это сила Fх, действующая на тело в направлении х. Значит, в правой части формулы (13.4) стоит Fxvx + Fyvy + Fzvz. Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это F·v. Итак,

А можно это вывести и быстрей: если а и b — два вектора, зависящих от времени, то производная от а*Ь равна

Подставим сюда a=b=v:

Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена: 1/2mv 2 называется, как известно, кинетической энергией; F*v называется мощностью: сила, действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела,— это мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается великолепная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела равна мощности, затраченной силами, действующими на тело. Но для изучения сохранения энергии анализ следует продолжить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время dt. Умножив обе части уравнения (13.7) на dt, найдем, что изменение кинетической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния

А интегрируя, получаем

Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. э. при переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от компоненты силы вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения ds (интегрирование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над телом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность — это работа за секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участвовали только вертикальные силы с одной-единственной составляющей Fz, равной —mg. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тело движется, прямо вниз или по параболе, все равно от F*ds (которое можно написать как Fxdx+Fydy+Fzdz) остается только Fzdz=—mgdz, потому что прочие составляющие силы — нули. Значит, в этом случае

так что в потенциальную энергию входит только высота, с которой тело падает.

Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстояние, то работу измеряют в единицах ньютон метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название джоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу измеряют в джоулях. Мощность же — в джоулях в секунду; эту единицу называют ватт(вт). Если умножить ватты на время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт-час — это 1000 вт х ЗбОО сек, т. е. 3,6 10 6 дж.

Приведем еще несколько примеров работы и сохранения энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетическую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Оно останавливается. В начале кинетическая энергия не равна нулю, а в конце она равна нулю; существует работа, произведенная силами, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направлении, противоположном направлению движения, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который качается в вертикальной плоскости в поле тяжести без трения. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опускается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается, сила направлена в обратную сторону, так что у F*ds на спуске и на подъеме разные знаки. В соответствующих точках спуска и подъема значения F*ds равны по величине, но противоположны по знаку, так что в итоге интеграл есть чистый нуль. Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; это и есть принцип сохранения энергии. (Заметьте, что в присутствии сил трения сохранение энергии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии. И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид, что об этом не знаем.)

www.all-fizika.com

Еще по теме:

• Вакансии в монастыре с проживанием Обсуждения МОНАСТЫРЮ, ХРАМУ ТРЕБУЮТСЯ 155 сообщений Пишем строго по форме:1. Название храма, монастыря2. Город3. Профиль работы4. Уровень оплаты (либо безвозмездная помощь, трудничество, проживание и питание)5. Контакты Все объявления, не соответствующие указанной […]
• Заявление об административном надзоре Заявление об установлении административного надзора Административный надзор устанавливается для предупреждения совершения преступлений и правонарушений лицами, ранее отбывавших наказание в местах лишения свободы. Считается, что такая мера позволит органам внутренних […]
• Закон о курении в организации Предлагается запретить курение на расстоянии менее 10 м от образовательных организаций, а также учреждений культуры и спорта С такой инициативой 1 выступили депутат Госдумы Анатолий Тихомиров и Законодательное Собрание Еврейской автономной области. Предполагается, что […]
• Пособия на похороны в москве ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Выплата неполученных сумм пенсий в связи со смертью пенсионера Начисленные суммы пенсии, причитавшиеся пенсионеру в текущем месяце и оставшиеся неполученными в связи с его смертью в указанном месяце, не включаются в […]
• Закон всемирного тяготения невесомость Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Невесомость Между любыми телами в природе существует сила взаимного притяжения, называемая силой всемирного тяготения (или силами гравитации). Закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном в 1682 году. Когда еще ему […]
• Правило ван гоффа Правило Вант-Гоффа При повышении температуры скорость большинства химических реакций существенно увеличивается, причем для гомогенных реакций при нагревании на каждые десять градусов скорость реакции возрастает в 2÷4 раза. В соответствие с правилом Вант-Гоффа для […]
• Ежемесячное пособие до 1 5 лет неработающим Ежемесячное пособие по уходу за ребенком с рождения и до 1,5 (полутора) лет в 2018 году Дополнительные региональные программы по поддержке материнства и детства в: Москве Алименты на ребенка: понятие, размер, порядок уплаты Ежемесячная денежная выплата на ребенка до […]
• Закон стефана-больцмана вина Законы Стефана — Больцмана и смещения Вина Из закона Кирхгофа (см. (198.1)) следует, что спектральная плотность энергетическое светимости черного тела является универсальное функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной […]

^^^^^^left(>^^^left(>