Правило измерения площади

Правило измерения площади

Длина отрезка служит мерой этого отрезка по отношению к некоторому стандартному масштабному отрезку. Длина отрезка — мера его «линейной» протяженности. Для плоских фигур сходным понятием является понятие площади; площадь фигуры — ее мера по отношению к стандартной фигуре (квадрату со стороной, равной единице), мера ее «плоской» протяженности. Как и в случае длины отрезка, определением площади будет служить процесс ее измерения. Объясним сначала некоторые отличия в подходе к понятию площади фигуры, делающие это понятие более сложным, чем понятие длины отрезка.

Равенство длин двух отрезков означает равенство самих отрезков; равенство градусных и радианных мер двух углов — равенство углов. С измерением площадей фигур дело обстоит сложней в том смысле, что неравные и непохожие друг на друга фигуры могут иметь равную площадь, или, как говорят, быть равновеликими. Так, на рис. 175 квадрат и треугольник равновелики (проще всего заметить, что они составлены из двух пар одинаковых треугольников, как говорят, «равносоставлены»). Более того, круг может иметь площадь, равную площади квадрата, трапеция — площадь, равную площади прямоугольника, и т. п.

За единицу измерения площадей выбирается квадрат с какой-либо заданной длиной стороны; естественно брать для этой цели квадрат со стороной, равной единичному отрезку. Если при этом длины измеряются в сантиметрах, то площади измеряются площадью квадрата со стороной 1 см (соответствующая единица измерения называется 1 см2), и т. п.

Процесс измерения площади (с принципиальной точки зрения) изложен ниже, площади же различных фигур рассматриваются там, где изучаются эти фигуры.

Из наглядного представления о площади вытекают некоторые свойства площадей, принимаемые без доказательства.

1. Равные фигуры имеют равные площади. Обратное не всегда верно: равные площади могут принадлежать неравным фигурам.

2. Если фигура разделена какой-либо линией на две другие фигуры (рис. 176), то площадь всей фигуры равна сумме площадей фигур, ее составляющих.

Следствие. Если одна фигура составляет часть другой, то она имеет меньшую площадь, чем эта другая фигура.

Во многих случаях эти свойства позволяют легко определять площади фигур, устанавливая, что они равновелики каким-либо простейшим фигурам с известной площадью (ниже, в пп. 200—202, на этом построено вычисление площадей треугольников, четырехугольников и многоугольников).

Здесь мы дадим краткое описание общего подхода к определению площади любой фигуры и рассмотрим площадь прямоугольника.

Пусть F (рис. 177) — какая-либо произвольная фигура с данной границей (контуром).

Разобьем плоскость на квадраты со стороной, равной единице, двумя системами перпендикулярных прямых (единичная решетка). Если внутри данной фигуры поместятся полностью

таких квадратов, то ее площадь заведомо будет

кв. ед. Затем для более точной оценки мы сделаем разбиение более дробным, а именно, сохраняя и старые линии разбиения, разобьем фигуру прямыми, параллельными ранее проведенным, на квадраты со стороной, равной одной десятой (площадь каждого из них равна, очевидно, одной сотой

Подсчитаем сумму площадей всех квадратов этого второго разбиения, поместившихся внутри нашей фигуры, — она не меньше суммы площадей квадратов первого разбиения. Делая разбиение еще более дробным, получим ряд фигур с неубывающей площадью, образованных квадратами со сторонами

и т. д. Чем мельче разбиение, тем большую площадь имеет совокупность квадратов, уместившихся в фигуре F. В то же время эта площадь никогда не превзойдет площади какого-либо квадрата, содержащего данную фигуру, т. е. будет ограниченной величиной.

Известно (п. 84, теорема Вейерштрасса), что такая монотонная (возрастающая) последовательность стремится к определенному пределу. Этот предел и принимается за площадь фигуры.

Можно доказать, что величина указанного предела не зависит от конкретных подробностей способа разбиения фигуры, таких, как, например, направление сторон квадратов, на которые мы произвели разбиение.

edu.sernam.ru

16. Площадь. Формула площади прямоугольника. Правила

Длина это величина характеризующая размер
какого — нибудь отрезка на прямой, а площадь
это величина показывающая размер той части
плоскости, которая очерчена соединенными
между собой отрезками (смотри рисунок).

Принято, что площадь квадрата со сторонами равными 1 тоже равна 1.
Если стороны измерены в метрах , то площадь будет измеряться в м 2 ,
если в см , то и площадь в с м 2 .

Читайте так же: Приказ мвд о профессиональной подготовке

Площадь трех квадратов (закрашенных голубым) со сторонами 1см будет равна 3 с м 2 .

Площадь девяти квадратов (закрашенных зеленым) со сторонами 1см будет равна 9 с м 2 .

На рисунке хорошо видно, что для нахождения площади нам надо
найти, сколько единичных квадратов умещается в нашем прямоугольнике, а для этого надо умножить длину на ширину.

a — длина; b — ширина; S — площадь;

Прямоугольник — это четырехугольник со всеми прямыми углами.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Площадь фигуры — это сумма площадей фигур, из которых она состоит.

Перечислим единицы измерения площади:

квадратный миллиметр ( м м 2 ) ,
квадратный сантиметр ( с м 2 ) ,
квадратный дециметр ( д м 2 ) ,
квадратный метр ( м 2 ) ,
квадратный километр ( к м 2 ) ,
гектар (га) ,
ар (a) (сотка) .

Площадь квадрата со сторонами 1м равна один квадратный метр,
а квадрата со сторонами 1мм равна один квадратный миллиметр.

Площадь квадрата со сторонами 100м равна один гектар.
Этой единицей площади пользуются для измерения площади земли.

Так как, 1га равен 100м • 100м , то 1га=10 000 м 2 .

Так же площадь полей и земли измеряют в арах (а).
Ар (сотка) равен квадрату со сторонами 10м . Значит,

1 дм=10 см, в 1 д м 2 содержится 10см • 10см , значит

1 д м 2=100 с м 2 .

Таким же образом получаем, что

1 м 2=100 д м 2 , 1 м 2=10 000 с м 2 и 1 с м 2=100 м м 2 .

У прямоугольников, у которых длина и ширина выражена в метрах,
площадь считают в квадратных метрах.

Если же длина и ширина прямоугольника записана в разных
единицах, то их надо привести, к одной единице измерения длины.

Задачи на тему «Площадь. Формула площади прямоугольника»

school-assistant.ru

Площадь прямоугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий вывести правило нахождения площади прямоугольника, потренироваться в решении задач на нахождение площади прямоугольника.

Нахождение площади прямоугольника с помощью мерок

Мы уже познакомились с понятием площадь фигуры, узнали одну из единиц измерения площади – квадратный сантиметр. На уроке мы выведем правило, как вычислить площадь прямоугольника.

Мы уже умеем находить площадь фигур, которые разделены на квадратные сантиметры.

Мы можем определить, что площадь первой фигуры 8 см 2 , площадь второй фигуры 7 см 2 .

Практическая работа по нахождению площади прямоугольника

Как найти площадь прямоугольника, длины сторон которого 3 см и 4 см?

Для решения задачи разобьём прямоугольник на 4 полоски по 3 см 2 каждая.

Тогда площадь прямоугольника будет равна 3*4=12 см 2 .

Этот же прямоугольник можно разбить на 3 полоски по 4 см 2 .

Тогда площадь прямоугольника будет равна 4*3=12 см 2 .

Вывод правила нахождения площади прямоугольника

В обоих случаях для нахождения площади прямоугольника перемножаются числа, выражающие длины сторон прямоугольника.

Найдем площадь каждого прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник АКМО.

В одной полоске 6 см 2 , а таких полосок в этом прямоугольнике 2. Значит, мы можем выполнить следующее действие:

Число 6 обозначает длину прямоугольника, а 2 – ширину прямоугольника. Таким образом, мы перемножили стороны прямоугольника для того, чтобы найти площадь прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник KDCO.

В прямоугольнике KDCO в одной полоске 2см 2 , а таких полосок 3. Следовательно, мы можем выполнить действие

Число 3 обозначает длину прямоугольника, а 2 – ширину прямоугольника. Мы их перемножили и узнали площадь прямоугольника.

Правило нахождения площади прямоугольника

Можно сделать вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, не надо каждый раз разбивать фигуру на квадратные сантиметры.

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно найти его длину и ширину (длины сторон прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения), а потом вычислить произведение полученных чисел (площадь будет выражена в соответствующих единицах площади)

Обобщим: площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Решение задач на нахождение площади прямоугольника и треугольника

Вычисли площадь прямоугольника, если длина прямоугольника 9см, а ширина – 2см.

Рассуждаем так. В данной задаче известны и длина и ширина прямоугольника. Поэтому действуем по правилу: площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Ответ: площадь прямоугольника 18см 2

Как вы думаете, какими ещё могут быть длины сторон прямоугольника с такой площадью?

Можно рассуждать так. Поскольку площадь – это произведение длин сторон прямоугольника, поэтому надо вспомнить таблицу умножения. При умножении каких чисел получается ответ 18?

Правильно, при умножении 6 и 3 тоже получится 18. Значит, у прямоугольника могут быть стороны 6см и 3 см и его площадь тоже будет равна 18см 2 .

Читайте так же: 10 закона жизни

Длина прямоугольника 8см, а ширина 2см. Найди его площадь и периметр.

Нам известны длина и ширина прямоугольника. Необходимо вспомнить, что для нахождения площади необходимо найти произведение его длины и ширины, а для нахождения периметра нужно сумму длины и ширины умножить на два.

Ответ: площадь прямоугольника 16 см 2 , а периметр прямоугольника 20 см.

Длина прямоугольника 4см, а ширина – 3см. Чему равна площадь треугольника? (смотри рисунок)

Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала надо найти площадь прямоугольника. Мы знаем, что для этого необходимо длину умножить на ширину.

Посмотрите на чертёж. Вы заметили, диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника? Следовательно, площадь одного треугольника в 2 раза меньше площади прямоугольника. Значит, надо 12 уменьшить в 2 раза.

Ответ: площадь треугольника 6 см 2 .

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом, как вычислить площадь прямоугольника и учились применять это правило при решении задач на нахождение площади прямоугольника.

Список рекомендованной литературы.

1. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. М., «Просвещение», 2012 год.

2. М.И.Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. М., «Просвещение», 2012 год.

3. М.И.Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.

4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. М., «Просвещение», 2011 год.

5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.

6. С.И.Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.

7. В.Н.Рудницкая. Тесты. М., «Экзамен», 2012 (127с.)

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

2. Издательство «Просвещение» (Источник)

3. Интернет-сайт do.gendocs.ru (Источник)

Рекомендованное домашнее задание.

1. Длина прямоугольника 7 см, ширина 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

2. Сторона квадрата 5 см. Найдите площадь квадрата.

3. Начертите возможные варианты прямоугольников, площадь которых 18 см 2 .

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

interneturok.ru

Единицы длины. Единицы площади. Таблица единиц площади

На этом уроке мы рассмотрим единицы длины, площади и таблицу единиц площади. Рассмотрим различные единицы измерения длины и площади, узнаем, в каких случаях их используют. Систематизируем наши знания с помощью таблицы. Решим ряд примеров на перевод одних единиц измерения в другие.

Вы знакомы с различными единицами длины. Какими единицами длины удобно пользоваться при измерении толщины спички или длины тельца божьей коровки? Я думаю, вы назвали миллиметры.

Единицы измерения длины

Какими единицами длины удобно пользоваться при измерении длины карандаша? Конечно, сантиметрами (см. рис. 1).

Рис. 1. Измерение длин

Какими единицами длины удобно пользоваться при измерении ширины или длины окна? Удобно измерять дециметрами.

А длину коридора или длину забора? Воспользуемся метрами (см. рис. 2).

Рис. 2. Измерение длин

Для измерения более крупных расстояний, например, расстояний между городами, используют более крупную, чем метр, единицу длины – километр (см. рис. 3).

Рис. 3. Измерение длин

В 1 километре 1000 метров.

Задание: выражение расстояния в километрах

Выразите расстояние в километрах.

1 километр – это тысяча метров, значит, число тысяч будет обозначать километры.

385007 м=385 км 7 м

34125 м=34 км 125 м

В числе количество сотен, десятков и единиц указывают метры.

Можно рассуждать по-другому: 1 км в тысячу раз больше 1 метра, значит, число километров должно быть в 1000 раз меньше числа метров. Поэтому 8000 : 1000=8, число 8 означает количество километров.

385007 : 1000=385 (ост. 7). Число 385 обозначает километры, остаток – количество метров.

34125 : 1000=34 (ост. 125), то есть 34 километра 125 метров.

Прочитайте таблицу единиц длины (см. рис. 4). Постарайтесь ее запомнить.

Рис. 4. Таблица единиц длины

Мерки для измерения площадей

Для измерения площадей используют разные мерки. Квадратный сантиметр – это квадрат со стороной в 1 см (см. рис. 5), квадратный дециметр – это квадрат со стороной в 1 дм (см. рис. 6), квадратный метр – это квадрат со стороной в 1 м (см. рис. 7).

Рис.5. Квадратный сантиметр

Рис. 6. Квадратный дециметр

Рис. 7. Квадратный метр

Для измерения больших площадей используют квадратный километр – это квадрат, сторона которого равна 1 км (см. рис. 8).

Рис. 8. Квадратный километр

Слова «квадратный километр» сокращенно при числе записывают так – 1 км 2 , 3 км 2 , 12 км 2 . В квадратных километрах измеряют, например, площади городов, площадь Москвы S=1091 км 2 .

Читайте так же: Мошенничество куда жаловаться

Задание: выразить в квадратных метрах

Вычислим, сколько квадратных метров в одном квадратном километре. Чтобы найти площадь квадрата, надо длину умножить на ширину. Нам дан квадрат со стороной в 1 км. Мы знаем, что 1 км=1000 м, значит, чтобы найти площадь такого квадрата, умножим 1000 м на 1000 м, получится 1 000 000 м 2=1 км 2 .

Выразите в квадратных метрах 2 км 2 . Будем рассуждать так: так как 1 км 2 – это 1 000 000 м 2 , то есть число квадратных метров в миллион раз больше, чем число квадратных километров, поэтому умножим 2 на 1 000 000, получим 2 000 000 м 2 .

56 км 2 : умножим 56 на 1 000 000, получим 56 000 000 м 2 .

202 км 2 15 м 2 : 202 ∙1 000 000 + 15=202 000 000 м 2 + 15 м 2=202 000 015 м 2 .

Для измерения маленьких площадей используются квадратный миллиметр (мм 2 ). Это квадрат, сторона которого равна 1 мм. Слова «квадратный миллиметр» при числе записывают так: 1 мм 2 , 7 мм 2 , 31 мм 2 .

Вычислим, сколько квадратных миллиметров в одном квадратном сантиметре. Чтобы найти площадь квадрата, надо длину умножить на ширину. Нам дан квадрат со стороной 1 см. Мы знаем, что 1 см=10 мм. Значит, чтобы найти площадь такого квадрата, умножим 10 мм на 10 мм, получится 100 мм 2 .

Задание: выразить в квадратных миллиметрах

Выразите в квадратных миллиметрах 4 см 2 . Будем рассуждать так: так как 1 см 2 – это 100 мм 2 , то есть число мм 2 в 100 раз больше числа см 2 , поэтому умножим 4 на 100, получим 400 мм 2 .

16 см 2 : умножим 16 на 100=1600 мм 2 .

31 см 2 7 мм 2 : это 31 ∙ 100 + 7=3100 + 7=3107 мм 2 .

Ар и гектар

В жизни часто употребляются такие единицы площади, как ар и гектар. Ар – это квадрат со стороной 10 м (см. рис. 9). При числах ар записывают короче: 1 а, 5 а, 12 а.

1 а=100 м 2 , поэтому его часто называют соткой.

Гектар – это квадрат со стороной в 100 м (см. рис. 10). Слово «гектар» при числах сокращенно записывают так: 1 га,6 га, 23 га. 1 га=10000 м 2 .

Рис. 10. 1 гектар

Вычислите, сколько аров в 1 гектаре.

1 га=10000 м 2

1 а=100 м 2 , значит, 10000 : 100=100 а

Теперь внимательно рассмотрите таблицу единиц площади (см. рис. 11), постарайтесь ее запомнить.

Рис. 11. Таблица единиц площади

Заключение

На уроке мы познакомились с новой единицей длины – км и единицами площади – м 2 , км 2 , а, га.

Список рекомендованной литературы

• Башмаков М.И. Нефёдова М.Г. Математика. 4 класс. М.: Астрель, 2009.
• М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. Математика. 4 класс. Часть 1 из 2, 2011.
• Демидова Т. Е. Козлова С. А. Тонких А. П. Математика. 4 класс 2-е изд., испр. — М.: Баласс, 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. 1. Найдите площадь квадрата со стороной 15 дм.
   2. Выразите: в квадратных метрах: 5 га; 3 га 18 а; 247 соток; 16 а;
   3. в гектарах: 420 000 м 2 ; 45 км 2 19 га;
   4. в арах: 43 га; 4 га 5 а; 30 700 м 2 ; 5 км2 13 га;
   5. в гектарах и арах: 930 а; 45 700 м 2 .

Единицы измерения площади

Единицы измерения площади: 1 см

=100 мм

, 1 дм

=100 см

, 1 м

=100 дм

, 1а=100 м

, 1га=100а, 1км

=100га (а – ар – сотка, га – S квадрата со стороной 100м).

Для простых тел объем – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) равные тела имеют равные объемы, 2) если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем данного тела равен сумме объемов его частей. Объем тела Т обозначают V(T).

Чтобы измерить объем, нужно иметь единицу объема. Как правило, за такую единицу принимают объем куба, ребро которого равно единице длины е, т.е е

.

Чтобы сравнить объемы двух сосудов, можно наполнить один из них водой (песком) и перелить во второй. Если второй сосуд окажется заполненным и воды в первом не останется, то V1=V2, если второй не заполнится весь, то V1 V2.

Если тело разбить на части и потом сложить их по иному, то объем полученного тела будет равен объему исходного. Этим правилом пользуются для отыскания формул объемов различных тел. Например, наклонный параллелепипед можно разбить на части и переложить так, что получится прямоугольный параллелепипед. Следовательно, объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (так же как и прямоугольного).

kto.guru