Закон равенства свойства

Числовые равенства, свойства числовых равенств

Получив общее представление о равенствах в математике, можно переходить к более детальному изучению этого вопроса. В этой статье мы, во-первых, разъясним, что такое числовые равенства, а, во-вторых, изучим свойства числовых равенств.

Навигация по странице.

Что такое числовое равенство?

Знакомство с числовыми равенствами начинается на самом начальном этапе изучения математики в школе. Обычно это происходит в 1 классе сразу после того, как становятся известными первые числа от 1 до 9 и после того, как обретает смысл фраза «столько же». Тогда то и появляются первые числовые равенства, например, 1=1 , 3=3 и т.п., которые на этом этапе обычно называют просто равенствами без уточняющего определения «числовые».

Равенствам указанного вида на этом этапе придается количественный или порядковый смысл, который вкладывается в натуральные числа. К примеру, числовое равенство 3=3 отвечало картинке, на которой изображены две ветки дерева, на каждой из которых сидят по 3 птицы. Или когда в двух очередях третьими по порядку стоят наши товарищи Петя и Коля.

После изучения арифметических действий, появляются более разнообразные записи числовых равенств, например, 3+1=4 , 7−2=5 , 3·2=6 , 8:4=2 и т.п. Дальше начинают встречаться числовые равенства еще более интересного вида, содержащие в своих частях различные числовые выражения, к примеру, (2+1)+3=2+(1+3) , 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и тому подобные. Дальше происходит знакомство с другими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более разнообразный вид.

Итак, достаточно ходить вокруг да около, пора уже дать определение числового равенства:

Числовое равенство – это равенство, в обеих частях которого находятся числа и/или числовые выражения.

Свойства числовых равенств

Принципы работы с числовыми равенствами определяются их свойствами. А на свойствах числовых равенств в математике завязано очень многое: от свойств решения уравнений и некоторых методов решения систем уравнений до правил работы с формулами, связывающими различные величины. Этим объясняется необходимость подробного изучения свойства числовых равенств.

Свойства числовых равенств полностью согласуются с тем, как определены действия с числами, а также находятся в согласии с определением равных чисел через разность: число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю. Ниже при описании каждого свойства мы будем прослеживать эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Обзор свойств числовых равенств стоит начать с трех основных свойств, характерных всем без исключения равенствам. Итак, основные свойства числовых равенств это:

• свойство рефлексивности: a=a ;
• свойство симметричности: если a=b , то b=a ;
• и свойство транзитивности: если a=b и b=c , то a=c ,

где a , b и c – произвольные числа.

Свойство рефлексивности числовых равенств относится к тому факту, что число равно самому себе. Например, 5=5 , −2=−2 , и т.п.

Несложно показать, что для любого числа a справедливо равенство a−a=0 . Действительно, разность a−a можно переписать в виде суммы a+(−a) , а из свойств сложения чисел мы знаем, что для любого числа a существует единственное противоположное число −a , и сумма противоположных чисел равна нулю.

Свойство симметричности числовых равенств утверждает, что если число a равно числу b , то число b равно числу a . Например, если 2 3=8 (смотрите степень с натуральным показателем), то 8=2 3 .

Обоснуем это свойство через разность чисел. Условию a=b отвечает равенство a−b=0 . Покажем, что b−a=0 . Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус, позволяет переписать разность b−a как −(a−b) , она в свою очередь равна −0 , а число, противоположное нулю, есть нуль. Следовательно, b−a=0 , откуда следует, что b=a .

Свойство транзитивности числовых равенств утверждает равенство двух чисел, когда они оба равны третьему числу. Например, из равенств (смотрите корень из числа) и 4=2 2 следует, что .

Это свойство также согласуется с определением равных чисел через разность и свойствами действий с числами. Действительно, равенствам a=b и b=c отвечают равенства a−b=0 и b−c=0 . Покажем, что a−c=0 , откуда будет следовать равенство чисел a и c . Так как прибавление нуля не изменяет число, то a−c можно переписать как a+0−c . Нуль заменим суммой противоположных чисел −b и b , при этом последнее выражение примет вид a+(−b+b)−c . Теперь можно выполнить группировку слагаемых следующим образом: (a−b)+(b−c) . А разности в скобках есть нули, следовательно, и сумма (a−b)+(b−c) равна нулю. Этим доказано, что при условии a−b=0 и b−c=0 справедливо равенство a−c=0 , откуда a=c .

Другие важные свойства

Из основных свойств числовых равенств, разобранных в предыдущем пункте, вытекает еще ряд свойств, имеющих ощутимую практическую ценность. Давайте разберем их.

Начнем с такого свойства: если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное числовое равенство. С помощью букв оно может быть записано так: если a=b , где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c для любого числа c .

Для обоснования составим разность (a+c)−(b+c) . Ее можно преобразовать к виду (a−b)+(c−c) . Так как a=b по условию, то a−b=0 , и c−c=0 , поэтому (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Этим доказано, что (a+c)−(b+c)=0 , следовательно, a+c=b+c .

Идем дальше: если обе части верного числового равенства умножить на любое число или разделить на отличное от нуля число, то получится верное числовое равенство. То есть, если a=b , то a·c=b·c для любого числа c , и если c отличное от нуля число, то и a:c=b:c .

Читайте так же: Правила согласования документ срок

Действительно, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , откуда следует равенство произведений a·c и b·c . А деление на отличное от нуля число c можно рассматривать как умножение на обратное число 1/c .

Из разобранного свойства числовых равенств вытекает одно полезное следствие: если a и b отличные от нуля и равные числа, то обратные им числа тоже равны. То есть, если a≠0 , b≠0 и a=b , то 1/a=1/b . Последнее равенство легко доказывается: для этого достаточно обе части исходного равенства a=b разделить на отличное от нуля число, равное произведению a·b .

И остановимся еще на двух свойствах, позволяющих складывать и умножать соответствующие части верных числовых равенств.

Если почленно сложить верные числовые равенства, то получится верное равенство. То есть, если a=b и c=d , то a+c=b+d для любых чисел a , b , c и d .

Обоснуем это свойство числовых равенств, отталкиваясь от уже известных нам свойств. Известно, что к обеим частям верного равенства мы можем прибавить любое число. В равенстве a=b прибавим число c , а в равенстве c+d прибавим число b , в результате получим верные числовые равенства a+c=b+c и c+b=d+b , последнее из которых перепишем как b+c=b+d . Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d по свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d , которое и требовалось доказать.

Заметим, что можно почленно складывать не только два верных числовых равенства, но и три, и четыре, и любое конечное их число.

Завершаем обзор свойств числовых равенств следующим свойством: если почленно перемножить два верных числовых равенства, то получится верное равенство. Сформулируем его формально: если a=b и c=d , то a·c=b·d .

Доказательство озвученного свойства похоже на доказательство предыдущего. Мы можем умножить обе части равенства на любое число, умножим a=b на c , а c=d на b , получаем верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b , последнее из которых перепишем в виде b·c=b·d . Тогда по свойству транзитивности из равенств a·c=b·c и b·c=b·d следует доказываемое равенство a·c=b·d .

Заметим, что озвученное свойство справедливо для почленного умножения трех и большего числа верных числовых равенств. Из этого утверждения следует, что если a=b , то a n=b n для любых чисел a и b , и любого натурального числа n .

В заключение этой статьи запишем все разобранные свойства числовых равенств в таблицу:

www.cleverstudents.ru

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют доказать равенство треугольников всего по двум парам элементов.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

28 Comments

Спасибо, все коротко и ясно.

спасибо большое) доступно все объяснили

А где пятый признак?

Max, признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу разбивается на два признака: по катету и противолежащему углу и по катету и прилежащему углу, потому что доказывают их отдельно.

Спасибо выручили.
Очень рад, что всё так доступно и понятно.

есть еще по катету и противолежащему острому углу

Да, признак равенства по катету и острому углу иногда разбивают на два.

Офигенно! Большое спасибо!

Спс,как раз геометрию не слушал.

В геометрии знание теории — основа. Поэтому желательно слушать)

все нормально конечно ,но было бы лучше если б было доно.

Это разве не нужно доказывать ? Плз ответ, у меня экзамен будет и нужно знать,надо это доказывать или прочитать хватит ?

Роман, если использовать признаки равенства в ходе решения других задач, то каждый раз доказывать их не нужно.

Спасибо у нас злая алгебраических которая ничего не объясняет поэтому никто не понял.

А вы на уроке попробуйте не шуметь. От этого выиграет и класс, и учитель.

Спасибо, помогли подготовиться к зачёту!

Удачно Вам сдать зачёт!

Скоро зачёт,и решил почитать не из учебника,а тут.Итог: Всё быстро и понятно,без так сказать «воды»,вообщем,спасибо

Игорь, удачи Вам на зачёте!

Спасибо большое у меня через 1 месяц экзамен

Илья, желаю Вам успешно сдать экзамен!

Здравствуйте. Хотелось бы к Вам обратиться по имени, но не вижу его. Спасибо Вам за сайт. Доступно, понятно, наглядно! Приятно, что при доказательстве теорем Вы стремитесь к оптимальному, более короткому пути, например в свойстве медиан треугольника. Что же касается признака равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. Вы объясняли в переписке некоторым людям, что он разбивается на два признака. Тем не менее, Вы оставляете некорректную формулировку: «Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». При этом поясняющий рисунок соответствует верному случаю и не показывает другой — неверный. Все же нужно согласиться с тем, что это два различных признака с различными формулировками, как у Вас и написано, правда в другом месте, в разделе доказательства.
С уважением,
Олег.

Здравствуйте, Олег!
Спасибо Вам за внимание к моему ресурсу.

Зовут меня Светлана Михайловна. Учу детей математике 28 лет: 16 — в школе, 12 — как репетитор. Сайты (у меня их несколько) создавала для помощи школьникам и их родителям. К сожалению, информация в учебнике не всегда изложена доступно. Очень хочется, чтобы ученики поняли, что математика (в частности, геометрия) — интересный и не такой уж сложный предмет.

Читайте так же: 2 статьи 10 закона 294-фз

Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака, как это сделано, к примеру, в учебнике Бутузова? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.

www.treugolniki.ru

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC=Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ=A1B1, АС=A1C1 ∠ А=∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC=Δ A1B1C1.

Так как ∠ А=∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ=A1B1, АС=А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А=∠ Е, АВ=20 см, АС=18 см, DE=18 см, EF=20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС=∠ BOD (вертикальные), АО=ОВ, СО=OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС=BD. Но так как по условию АС=6 м, то и BD=6 м.

Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ=EF, ∠A=∠E, ∠B=∠F.

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).

Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА=13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD=13 м.

wiki.eduvdom.com

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Закон равенства действия и противодействия (пятая аксиома)

При взаимодействии тел всякому действию соответ­ствует равное и противоположно направленное противо­действие.

Так, если на тело В (см.рис) действует сила Р1 со стороны материального тела А, то на тело А дей­ствует со стороны тела В та­кая же по величине сила Р2.

Обе силы действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Читайте так же: Виды полномочий и подразделений организации

Действие и противодействие всегда приложены к различным телам и именно поэтому они не могут уравновешиваться.

Пятая аксиома устанавливает, что в природе не может быть одностороннего действия силы.

Приведем пример, подтверждающий это положение.

Рассмотрим всемирное тяготение, которое представ­ляет собой силу притяжения между двумя материаль­ными телами. Солнце и Земля взаимно притягиваются равными силами, причем эти силы направлены по прямой, соединяющей центры Солнца и Земли, в противоположные стороны. Отмеченные силы приложены к разным телам и, следовательно, они не могут уравновеситься, если мы рассматриваем каждое тело порознь. Если же мы будем исследовать всю солнечную систему в целом, то сил притяжения между планетами мы не обнаружим. Для солнечной системы силы притяжения входящих в нее планет являются внутренними. Внутренние силы в любой системе, в том числе и в твердом теле, подчинены пятой аксиоме. Поэтому в любой системе внутренние силы урав­новешиваются.

www.prosopromat.ru

3. Признаки равенства треугольников. Правила

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек,
не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Если треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 можно совместить наложением,
то они являются равными. У равных треугольников равны и их
соответствующие элементы.

Первый признак равенства треугольников:
треугольники равны, если у них равны две стороны и угол между ними.

Второй признак равенства треугольников:
треугольники равны, если у них равны два угла и сторона между ними.

Третий признак равенства треугольников:
треугольники равны, если у них равны три стороны.

Задачи на тему «Признаки равенства треугольников»

Выберите признак равенства треугольников .

1) Треугольники AOB и COD равны по 1-му признаку;

3) Треугольники AOB и COD равны по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно.

Выберите признак равенства треугольников .

1) Треугольники ABC и ADC равны по 1-му признаку;

2) Треугольники ABC и ADC равны по 2-му признаку;

3) Треугольники ABC и ADC равны по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно.

Выберите признак равенства треугольников,
если точка О центр окружноcти .

2) Треугольники AOB и COD равны по 2-му признаку;

3) Треугольники AOB и COD равны по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле.

Выберите признак равенства треугольников,
если точка О центр окружноcти .

1) Треугольники AOB и COB равны по 1-му признаку;

2) Треугольники AOB и COB равны по 2-му признаку;

3) Треугольники AOB и COB равны по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно.

Выберите признак равенства треугольников,
если ABCD прямоугольник .

1) Треугольники ADE и BCK равны по 1-му признаку;

2) Треугольники ADE и BCK равны по 2-му признаку;

3) Треугольники ADE и BCK равны по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

Два отрезка AB и CD пересекаются в точке О так, что AO=OB , CO=OD .
Выберите признак, по которому доказывается равенство треугольников AOC и BOD .

1)

AOC=

BOD по 1-му признаку;

2)

AOC=

BOD по 2-му признаку;

3)

AOC=

BOD по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Дан прямоугольник ABCD . Выберите признак, по которому
доказывается равенство треугольников ABD и BCD .

1)

ABD=

BCD по 1-му признаку;

2)

ABD=

BCD по 2-му признаку;

3)

ABD=

BCD по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. В четырехугольнике ABCD проведена диагональ AC ,
причем

BCA=

DCA , а

BAC=

DAC .
Выберите признак, по которому доказывается равенство треугольников ABC и ADC .

1)

ABC=

ADC по 1-му признаку;

2)

ABC=

ADC по 2-му признаку;

3)

ABC=

ADC по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке О так, что AO=CO , BO=DO .
Выберите признак, по которому доказывается равенство треугольников AOD и COB .

1)

AOD=

COB по 1-му признаку;

2)

AOD=

COB по 2-му признаку;

3)

AOD=

COB по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно. Неверно.

Дан четырехугольник ABCD , у которого равны противоположные стороны,
AB=CD и BC=AD.

Выберите угол равный

BCA=

DCA ;

BAC ;

DAC . Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Выберите угол равный

DCA=

BCA ;

BAC ;

DAC. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно.

ABC=

CDA

по первому признаку ; по второму признаку ; по третьему признаку. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено.

Дано: NO=KO , BK=BN .
Доказать: AB=BC .

Докажем равенство:

NBC=

KBA (по 1-му признаку);

Докажем равенство:

NOA=

KOC (по 2-му признаку);

Соединим точки B и O. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно.

Дано: NO=KO , BK=BN .
Доказать: AB=BC .

Докажем равенство:

NBO=

KBO (по 2-му признаку);

Докажем равенство:

NBO=

KBO (по 3-му признаку);

Докажем равенство:

ABO=

CBO (по 3-му признаку). Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно.

Дано: NO=KO , BK=BN .
Доказать: AB=BC .

Докажем равенство:

ABK=

CBN (по 1-му признаку);

Докажем равенство:

ABK=

CBN (по 2-му признаку);

Докажем равенство:

ABK=

CBN (по 3-му признаку). Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo.

ABK=

CBN=> AB=BC.

school-assistant.ru