Закон безотказной работы

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Экспоненциальный закон — распределение — время — безотказная работа

Экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы применим к механизмам, прошедшим предварительную приработку. Этот вид распределения используется также при анализе внезапных отказов. [1]

Таким образом, при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы средняя частота отказов равна интенсивности отказов и обратно пропорциональна среднему времени безотказной работы. [2]

Основной числовой характеристикой надежности технического элемента при широко распространенном экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы служит наработка на отказ, имеющая размерность времени ( ч), или обратная ей величина — интенсивность отказов ( ч 1) — Сложнее указать числовую характеристику надежности программных средств, так как законы распределения вероятности безошибочной ( или безсбойной) работы программ изучены недостаточно. При использовании сложных программных систем, когда при устранении отказов могут возникнуть новые ошибки, надежность программных средств в первом приближении можно также оценивать интенсивностью отказов и наработкой на отказ. [3]

Автоматические анализаторы — восстанавливаемые приборы, надежность которых характеризуется экспоненциальным законом распределения времени безотказной работы . Основным показателем, по которому определяется отказ анализатора, является предел допускаемой основной приведенной погрешности, соответствующей его классу точности. [4]

Предполагается, что автоматический анализатор является восстанавливаемым прибором, характеризуемым экспоненциальным законом распределения времени безотказной работы . [5]

Новейшие исследования в области надежности систем автоматики показывают, что экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы может быть принят при обработке статистических данных далеко не всегда. Все больше используются другие виды распределений, хорошо согласующиеся с опытными данными, в частности, распределение Вейбулла и нормальное распределение. [6]

Микропроцессорные аналитические приборы — восстанавливаемые приборы, надежность которых характеризуется экспоненциальным законом распределения времени безотказной работы . [7]

Экспериментальная оценка надежности технических устройств базируется как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы . Важным свойством экспоненциального закона является независимость вероятности безотказной работы Р ( t) от того, сколько времени техническое устройство проработало до рассматриваемого промежутка времени. [8]

В основе большинства подходов назначения межповерочных интервалов и их корректировки предполагается экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы с нормальным распределением погрешностей во временных сечениях процесса эксплуатации. [9]

Вероятность безотказной работы прибора за 1000 ч составляет 0 8 при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы . [10]

Экспериментальная оценка надежности технических устройств базируется, как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы . Важным свойством экспоненциального закона является неаависимость вероятности безотказной работы Р ( t) от того, сколько времени техническое устройство проработало до рассматриваемого промежутка времени. [11]

Теоретическая и экспериментальная оценка надежности автоматических устройств и систем управления базируется, как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы . [12]

Данная особенность позволяет при теоретической и экспериментальной оценке надежности анализаторов базироваться, как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы анализаторов . [14]

Подставляя статистическую оценку интенсивности отказов Я в формулу (2.110) и производя необходимые расчеты, можно построить график теоретической функции надежности P ( t) в случае экспоненциального закона распределения времени безотказной работы . [15]

www.ngpedia.ru

Решение. Так как λt=10 -8 ∙10 4=10 -4 -4=0,9999.

Расчет по точной зависимости Р(t)=e -λ t в пределах четырех знаков после запятой дает точное совпадение.

К 1.6. НАДЕЖНОСТЬ В ПЕРИОД ПОСТЕПЕННЫХ ОТКАЗОВ

Для постепенных отказов нужны законы распределения времени безотказной работы, которые дают вначале низкую плотность распределения, затем максимум и далее падение, связанное с уменьшением числа работоспособных элементов.

В связи с многообразием причин и условий возникновения отказов в этот период для описания надежности применяют несколько законов распределений, которые устанавливают путем аппроксимации результатов испытаний или наблюдений в эксплуатации.

Нормальное распределение хорошо описывает распределение вероятностей наработки до отказа, ресурса элементов и других показателей надежности, когда они зависят от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, влияние каждого из которых по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Этот закон характерен для постепенных отказов, вызванных износом и старением. Нормальному распределению «подчиняется» наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов, размеры и ошибки измерений деталей и др. Нормальное распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов (рис. 1.5, 1.6).

Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание mt и среднее квадратическое отклонение St. Значения параметров mt и St оценивают по результатам испытаний по формулам (4.5) и (4.7).

Математическое ожидание определяет на графике (см. рис. 1.5) положение петли, а среднее квадратическое отклонение — ширину петли.

К

ривая плотности распределения тем острее и выше, чем меньшеSt. Она начинается от t=– ∞ и распространяется до t=+ ∞. Это не является существенным недостатком, особенно если mt≤ 3St, так как площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями кривой плотности, выражающая соответствующую вероятность отказов, очень мала. Так, вероятность отказа за период времени до mt–3St составляет всего 0,135% и обычно не учитывается в расче­тах. Вероятность отказа до mt–2St равна 2,175%. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/St.

а – функция плотности вероятности

б – вероятность безотказной работы

Рисунок 4.3. Нормальный закон

нтегральная функция распределения

.

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц. Таблицы для нормального распределения в функции (t–mt) и St были бы громоздкими, так как имели бы два независимых параметра. Можно обойтись небольшими таблицами для нормального распределения, у которого mx=0 и Sx=1. Для этого распределения функция плотности

имеет одну переменную х. Величина х является центрированной, так как тх=0, и нормированной, так как Sx=1. Функция плотности распределения записывается в относительных координатах с началом на оси симметрии петли.

Читайте так же: Правила приема экзамена в гибдд

Функция распределения – интеграл от плотности распределения

.

Для использования таблиц следует применять подстановку x=(t—mt)/St; при этом х называется квантилью нормированного нормального распределения и обычно обозначается uр.

studfiles.net

Закон безотказной работы

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ

Отказы в системах возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь зависит от многих причин, то отказы элементов, входящих в состав системы, относятся, как правило, к случайным событиям, а время работы до возникновения отказов — к случайным величинам. В инженерной практике возможны и не случайные (детерминированные) отказы (отказы, возникновение которых происходит в определенный момент времени, т.е. в момент возникновения причины, так как существует однозначная и определенная связь между причиной отказа и моментом его возникновения). Например, если в цепи аппаратов ошибочно поставлен элемент, не способный работать при пиковой нагрузке, то всякий раз когда возникает эта нагрузка, он обязательно перейдет в отказовое состояние. Такие отказы выявляются и устраняются в процессе проверки технической документации и испытаний.

При анализе надежности объектом исследования являются случайные события и величины. В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. В принципе можно взять любую кривую, площадь под которой равна единице, и использовать ее в качестве кривой распределения случайной величины. Поэтому прежде чем приступить к инженерным методам расчета надежности и испытаний на надежность, следует рассмотреть закономерности, которым они подчиняются.

Случайное событие

Случайное событие — событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы. Поток событий — последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений техническое устройство может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное). Переход изделия из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс .

Случайная величина

Случайная величина — величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших элементов при наработке заданного объема и т.д.), либо непрерывной (время наработки элемента до отказа, время восстановления работоспособности).

Закон распределения случайной величины — соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность того, что случайная величина X меньше некоторой текущей переменой x.

Функция распределения случайной величины X (интегральный закон распределения) — функция вида F(x)=p (X 2 — распределение; логарифмически-нормальное распределение.

Биноминальный закон распределения числа n появления события A в m независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события A в одном испытании равна p, вероятность непоявления события A равна q=1-p; число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n событий в испытаниях будет

, (4.3.2)

где

— число сочетаний из m по n.

Свойства распределения следующие:
1) число событий n — целое положительное число;
2) математическое ожидание числа событий равно mp;
3) среднеквадратическое отклонение числа событий

.

При увеличении числа испытаний биноминальное распределение приближается к нормальному со средним значением n/m и дисперсией p(1-p)/m.

Закон Пуассона — распределение чисел случайного события ni за время t . Вероятность возникновения случайного события n раз за время t

Pn( t )=

exp(- lt ), (4.3.3)
где l — интенсивность случайного события.

Свойства распределения следующие:
1) математическое ожидание числа событий за время t равно lt ;
2) среднеквадратическое отклонение числа событий

.

Характерный признак распределения Пуассона — равенство математического ожидания и дисперсии. Это свойство используется для проверки степени соответствия исследуемого (опытного) распределения с распределением Пуассона.

Распределение Пуассона получается из биноминального распределения, если число испытаний m неограниченно возрастает, а математическое ожидание числа событий a=lt остается постоянным.
Тогда вероятность

биноминального распределения при каждом n, равном 0,1,2. стремится к пределу

.

Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в изделии за заданное время произойдет один, два, три и т.д. отказов.

Экспоненциальный (показательный) закон распределения случайной величины X (рис. 4.3.3,а) записывается в общем случае так:
P(x)=еxp (- l x),
где P(x) — вероятность того, что случайная величина X имеет значение больше x; значения е -х даются в прилож. 1.

В частном случае, когда за случайную величину принимается время работы объекта t, вероятность того, что изделие на протяжении времени t будет находиться в работоспособном состоянии, равна еxp(- l t):
P(t)=еxp(- l t), (4.3.4)
где l — интенсивность отказов объекта для экспоненциального распределения (она постоянна), т.е l=const.
Выражение (4.3.4) можно получить непосредственно из (4.3.3), если число отказов n принять равным 0.

Вероятность отказа за время t из (4.3.4)
Q(t)=1 — P(t)=1 — еxp (- l t). (4.3.5)

Плотность вероятности отказов
f(t)=¶ Q/ ¶ t=l еxp (- l t). (4.3.6)

Рис. 4.3.3. Распределения: а – экспоненциальное;
б — g -распределение; в — Вейбулла;
г — нормальное; д — усеченное нормальное;
е — Рэлея

Среднее время работы до возникновения отказа

. (4.3.7)

Дисперсия времени работы до возникновения отказа

. (4.3.8)

Среднеквадратическое время работы
s (t)=T1.

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы — характерный признак экспоненциального распределения.

Статистические материалы об отказах элементов свидетельствуют о том, что в основном время их работы подчиняется экспоненциальному закону распределения. Условием возникновения экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не начался, т.е. для нормальных условий эксплуатации. Постоянной становится интенсивность отказов сложных объектов, если вызываются они отказами большого числа комплектующих элементов.

Читайте так же: Адвокат павел николаевич

Время возникновения первичных отказов может быть расположено на оси времени так, что суммарный поток отказов сложного изделия становится близким к простейшему, т.е. с постоянной интенсивностью отказов.

Этими обстоятельствами, а также тем, что предположение об экспоненциальном распределении существенно упрощает расчеты надежности, объясняется широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

Гамма-распределение случайной величины (рис. 4.3.3,б). Если отказ устройства возникает тогда, когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметрами l , плотность вероятности отказа устройства
f(t)=

, (4.3.9)

где l — исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом k элементов.

Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств. Равенство (4.3.9) получается из (4.3.3).

Вероятность k и более отказов, т.е. вероятность отказа данного устройства,
P(n ³ k)=1 —

ехp(- l t). (4.3.10)

Плотность вероятности отказа устройства за время t

f(t)=

=

. (4.3.11)

Среднее время работы устройства до отказа
T1=kT=k/ l . (4.3.12)
Интенсивность отказов устройства

. (4.3.13)
Вероятность безотказного состояния устройства
P(t)=еxp(- l t)

. (4.3.14)

При k=1 g -распределение совпадает с экспоненциальным распределением.

При увеличении k g -распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.

Распределение Вейбулла . Для случая, когда поток отказов не стационарный, т.е. плотность потока изменяется с течением времени, функция распределения времени до отказа приобретает вид, показанный на рис. 4.3.3,в.

Плотность вероятности отказов этого распределения:
f(t)=la t a -1 еxp(- l t a ). (4.3.15)
Вероятность отсутствия отказа за время t
P(t)=еxp(- l t a ). (4.3.16)
Интенсивность отказов
l (t)=al t a -1 . (4.3.17)

В (4.3.15) — (4.3.17) a и l — параметры закона распределения. Параметр l определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При a=1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при a 1 — монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры a и l , с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными. Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения — признаками износового отказа.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Это распределение иногда используется для описания надежности подшипников качения ( a=1,4 — 1,7).
Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выражения:
T=

. (4.3.18)

Значения Г (гамма-функции) табулированы (прилож. 2).

Нормальное распределение (рис. 4.3.3,г) случайной величины X возникает всякий раз, когда X зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т.е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.

Плотность вероятности отказов
f(t)=

еxp[-(t-T) 2 /2 s 2 ], (4.3.19)

где T — средняя наработка до отказа; s — среднее квадратическое (стандартное) отклонение времени безотказной работы.

Вероятность отказа время t
F(t)=

еxp[-(t-T) 2 /2 s 2 ]. (4.3.20)

Значение функции распределения определяется формулой
F(t)=0,5 + Ф(u)=Q(t); u=(t-T) / s . (4.3.21)
Вероятность отсутствия отказа за время t
P(t)=1-Q(t)=1-[0,5+Ф(u)]=0,5 — Ф(u). (4.3.22)
Значения F(t) табулированы (прилож. 3).

График l (t) показан на рис. 4.3.3,г. Интенсивность отказов монотонно возрастает и после T начинает приближаться к асимптоте:
y=(t-T) / s . (4.3.23)

Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени — характерный признак нормального распределения. Нормальное распределение существенно отличается от экспоненциального. Началом отсчета времени t в (4.3.20) служит начало эксплуатации объекта, т.е. момент, когда начинается процесс износа и старения, а началом отсчета в (4.3.4) — момент времени, когда установлено, что изделие исправно (этот момент может быть расположен в любой точке на оси времени).

Усеченное нормальное распределение (рис. 4.3.3, д). Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от — ¥ до + ¥ , а время безотказной работы может быть только положительным, следует рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью вероятности отказов
f(t)=

еxp[-(t-T1) 2 /2 s 2 ]. (4.3.24)

Нормирующий множитель c определяется из выражения

c

=1 (4.3.25)

c=1/F(T1/ s )=1/[0,5+Ф(T1/ s )], (4.3.26)
где F(T1/ s )=1/2 p

(4.3.27)
— табулированная (прилож. 4) интегральная функция нормального распределения;
Ф(T1/ s )=1/2 p

(4.3.28)
— нормированная функция Лапласа.

Тогда (3.24) запишется следующим образом:
f(t)=

еxp[-(t-T1) 2 /2 s 2 ]. (4.3.29)

Средняя наработка до отказа в усеченном распределении и параметр T1 неусеченного нормального распределения связаны зависимостью

T=T1 + f(t)=

. (4.3.30)

При T/ s ³ 2, что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами, коэффициент c мало отличается от единицы и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

Вероятность безотказной работы определяется из выражения
P(t)=

. (4.3.31)

Интенсивность отказов находится из

l (t)=

. (4.3.32)

Распределение Рэлея (рис. 4.3.3,е) — непрерывное распределение вероятностей с плотностью

p(x)=x/ s 2 exp(-x 2 /2 s 2 ) при x > 0;
p(x)=0 при x £ 0,

зависящей от масштабного параметра s > 0. Распределение имеет положительную асимметрию, его единственная мода находится в точке x=s . Все моменты распределения Рэлея конечны.

Также как и распределение Вейбулла или g -распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.

Читайте так же: Форма заявления на усн 2018 образец

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется:

f(t)=t/ s 2 еxp(-t 2 /2 s 2 ). (4.3.33)
Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения
P(t)=еxp(-t 2 /2 s 2 ). (4.3.34)
Интенсивность отказов находится из
l (t)=t/ s 2 . (4.3.35)
Средняя наработка до первого отказа составит
Т=

. (4.3.36)

О выборе закона распределения отказов при расчете надежности

Определение закона распределения отказов имеет большое значение при исследованиях и оценках надежности. Определение P(t) по одной и той же исходной информации о T, но при различных предположениях о законе распределения может привести к существенно отличающимся результатам.

Закон распределения отказов можно определить по экспериментальным данным, но для этого необходимо проведение большого числа опытов в идентичных условиях. Практически эти условия, как правило, трудно обеспечить. Кроме того, такое решение содержит черты пассивной регистрации событий.

Вместе с тем во многих случаях за время эксплуатации успевает отказать лишь незначительная доля первоначально имевшихся объектов. Полученным статистическим данным соответствует начальная (левая) часть экспериментального распределения.

Более рационально — изучение условий, физических процессов при которых возникает то или другое распределение. При этом составляются модели возникновения отказов и соответствующие им законы распределения времени до появления отказа, что позволяет делать обоснованные предположения о законе распределения.

Опытные данные должны служить средством проверки обоснованности прогноза, а не единственным источником данных о законе распределения. Такой подход необходим для оценки надежности новых изделий, для которых статистический материал весьма ограничен.

www.obzh.ru

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина

имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром

, если ее плотность вероятности имеет вид:

(12.1)

Здесь

постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром

. Найдем интегральную функцию показательного распределения:

(12.2)

(12.3)

Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения (

)

Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения (

)

Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(12.4)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

(12.5)

Т.к.

, то остается вычислить

:

(12.6)

Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

(12.7)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

Пример 1.Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр

.

Решение. а) Плотность распределения имеет вид:

б) Соответствующая интегральная функция равна:

Пример 2.Найти вероятность попадания в заданный интервал

для СВ

, распределенной по экспоненциальному закону

Решение. Найдем решение, вспомнив, что:

. Теперь с учетом (12.3) получим:

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени

, а по истечении времени длительностью

происходит отказ. Обозначим через

непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем

, то, следовательно, за время длительностью

наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью

определяется интегральной функцией:

. (12.8)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью

равна вероятности противоположного события, т.е.

. (12.9)

Функцией надежности

называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью

.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

. (12.10)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

. (12.11)

Пример 3.Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону

при

(

время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение. В нашем примере

, тогда воспользуемся (12.11):

.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью

не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени

(при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале

длительностью

;

безотказная работа элемента на интервале

длительностью

;

Тогда событие

состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале

длительностью

. Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(12.12)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени

при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

(12.13)

Мы видим, что полученная формула не зависит от

, а только от

. Сравнивая (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью

, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

Пространство элементарных событий. Случайные события.

Современное понятие вероятности

Классическая вероятностная схема

Закон сложения вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Формула полной вероятности

Теорема гипотез. Формула Байеса.

Повторение испытаний. Схема Бернулли.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Основные свойства плотности распределения

Числовые характеристики одномерной случайной величины

Свойства математического ожидания

Моменты случайной величины

Асимметрии и эксцесс

Многомерные случайные величины

Свойства двумерной функции распределения

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Условная плотность распределения

Числовые характеристики системы случайных величин

Свойства коэффициента корреляции

Нормальный (гауссов) закон распределения

Вероятность попадания на интервал

Свойства нормальной функции распределения

Распределение

(«хи–квадрат»)

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Числовые характеристики показательного распределения

Дата добавления: 2015-06-10 ; просмотров: 3599 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

helpiks.org