Правило вычитания числа из разности

Вычитание целых чисел, правила, примеры.

Сейчас мы разберемся с тем, как выполняется вычитание целых чисел. Сначала введем термины и обозначения. Далее озвучим смысл вычитания целых чисел, от которого перейдем к правилу, позволяющему сводить вычитание целых чисел к сложению, и рассмотрим примеры использования этого правила при вычитании целого положительного, целого отрицательного числа и нуля. После этого научимся выполнять проверку вычисленной разности, и посмотрим, что собой представляет вычитание целых чисел на координатной прямой.

Термины и обозначения

Для описания вычитания целых чисел мы будем использовать все термины и обозначения, которыми мы пользовались при описании вычитания натуральных чисел.

Целое число, из которого проводится вычитание, будем называть уменьшаемым. Целое число, которое вычитаем, будем называть вычитаемым. Результат вычитания будем называть разностью.

Для обозначения вычитания будем использовать знак минус, который будем располагать между уменьшаемым и вычитаемым. Уменьшаемое, вычитаемое и полученную разность будем записывать в виде равенства. Например, если при вычитании из целого числа a целого числа b получается число c , то можно записать равенство вида a−b=c . Например, в равенстве вида −5−(−43)=38 целое число −5 является уменьшаемым, целое число −43 – вычитаемым, а 38 – разностью.

Выражения вида a−b также будем называть разностью, как и значение этого выражения.

Дальше из смысла вычитания целых чисел будет понятно, что результат вычитания целых чисел представляет собой целое число.

Смысл вычитания целых чисел

Когда мы изучали вычитание натуральных чисел, была установлена связь между сложением и вычитанием, которая позволила нам определить вычитание как нахождение одного из слагаемых по известной сумме и другому слагаемому. Будем считать, что вычитание целых чисел имеет тот же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых находится другое слагаемое (здесь как ни крути нужно знать, что собой представляет сложение целых чисел).

Озвученный смысл вычитания целых чисел позволяет нам утверждать, что разность c−b равна a и разность c−a равна b , если сумма a+b равна c , где a , b и c – целые числа.

Приведем несколько примеров для конкретики.

Пусть мы знаем, что −4+9=5 , тогда разность 5−9 равна −4 . Еще пример. Допустим нам известно, что сумма двух целых чисел −17 и −3 равна −20 , тогда вычитание из целого числа −20 целого числа −3 в результате дает −17 , а разность −20−(−17) равна −3 .

Правило вычитания целых чисел

Смысл вычитания целых чисел, выясненный в предыдущем пункте, не дает нам способа вычисления разности. Действительно, на основании смысла вычитания целых чисел мы лишь можем сказать, что одно из известных слагаемых является результатом вычитания из их суммы другого известного слагаемого. Однако если одно из слагаемых неизвестно, то мы не знаем, чему равна разность между суммой и известным слагаемым. Таким образом, нам необходимо правило, позволяющее вычитать из одного целого числа другое.

Приведем формулировку правила вычитания целых чисел, после чего приведем его обоснование.

Чтобы вычислить разность двух целых чисел, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, то есть, a−b=a+(−b) , где a и b – целые числа, b и −b – противоположные числа.

Докажем озвученное правило вычитания, то есть докажем, что значение выражения a+(−b) равно разности целых чисел a и b . Для этого, в силу смысла вычитания целых чисел, нужно прибавить к a+(−b) вычитаемое b и убедиться, что получается уменьшаемое a , то есть, нужно проверить справедливость равенства (a+(−b))+b=a . Это нам позволяют сделать свойства сложения целых чисел, на их основании мы можем записать цепочку равенств вида (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , которая и служит доказательством правила вычитания целых чисел.

Осталось рассмотреть применение правила вычитания целых чисел при решении примеров.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Выполните вычитание из числа 16 целого положительного числа 36 .

По правилу, чтобы из данного числа 16 вычесть целое положительное число 36 нужно к уменьшаемому 16 прибавить число −36 , противоположное вычитаемому 36 . То есть, искомая разность равна сумме целых чисел 16 и −36 . Осталось лишь вычислить эту сумму целых чисел с противоположными знаками, она получается равной −20 . Таким образом, результатом вычитания из 16 числа 36 является число −20 .

Все решение можно записать в одну строку: 16−36=16+(−36)=−20 .

Отнимите от целого отрицательного числа −100 целое положительное число 50 .

Чтобы выполнить требуемое действие нужно к уменьшаемому −100 прибавить число −50 , которое противоположно вычитаемому 50 , — этого требует правило вычитания целых чисел. Нахождение суммы целых отрицательных чисел −100 и −50 не должно вызвать затруднений: −100+(−50)=−150 . Следовательно, искомая разность равна −150 .

Кратко нахождение разности указанных целых чисел можно записать так: −100−50=−100+(−50)=−150 .

Вычитание нуля, примеры

Правило вычитания целых чисел позволяет получить важный результат, касающийся вычитания нуля из данного целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, то есть, a−0=a , где a – произвольное целое число.

Согласно правилу вычитания целых чисел, вычитание нуля есть прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. А так как нуль является числом, противоположным самому себе, то вычесть нуль – это все равно, что прибавить нуль. Но в силу соответствующего свойства сложения, прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом, a−0=a+(−0)=a+0=a .

Рассмотрим несколько примеров вычитания нуля из различных целых чисел. Разность 45−0 равна 45 . Если из целого отрицательного числа −6 005 вычесть нуль, то получим −6 005 . Если от нуля отнять нуль, то в результате получим нуль.

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Отнимите от целого числа 0 целое отрицательное число −411 .

Вычисление разности 0−(−411) по правилу вычитания целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому 0 числа, противоположного вычитаемому −411 . Так как целому отрицательному числу −411 противоположно число 411 , то 0−(−411)=0+411=411 .

Вычислите разность −5−(−45) .

Нам нужно провести вычитание из −5 целого отрицательного числа −45 . Для этого нам нужно вычислить сумму двух чисел: уменьшаемого −5 и числа 45 , противоположного вычитаемому −45 . Имеем −5−(−45)=−5+45=40 .

Вычитание равных целых чисел

Отдельно хочется сказать о вычитании равных целых чисел. Дело в том, что если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю, то есть, a−a=0 , где a – любое целое число.

Поясним последнее утверждение. По правилу вычитания целых чисел a−a=a+(−a)=0 . То есть, вычесть из целого числа равное ему число – это все равно, что прибавить к данному числу, противоположное ему число, что дает нуль.

Приведем пару примеров. Разность равных целых чисел −67 и −67 равна нулю; если из 653 вычесть равное ему число 653 , то мы также получим 0 . Наконец, если от нуля отнять нуль, то мы получим нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Проверка результата вычитания целых чисел проводится при помощи сложения. Чтобы проверить, правильно ли было проведено вычитание целых чисел, нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться уменьшаемое.

От целого отрицательного числа −303 было отнято целое отрицательное число −255 , и была получена разность −47 . Правильно ли выполнено вычитание?

Выполним проверку. Для этого к разности прибавим вычитаемое: −47+(−255)=−302 . Так как мы получили число, отличное от уменьшаемого −303 , при вычитании целых чисел где-то была допущена ошибка.

www.cleverstudents.ru

Правило вычитания числа из разности

1. Прочитай внимательно задачу: «В одном мешке а кг картошки, а в другом — b кг. Из мешков отсыпали с кг картошки. Сколько картошки осталось?»

Читайте так же: Претензия о нарушении обязательств по договору

Рассмотри разные способы решения этой задачи:

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и прибавить второе слагаемое:

(a + b) — c=(a — c) + b=a + (b — c)

2. Вычисли наиболее удобным способом:

3. Составь выражение и найди его значение, если m=184, n=69, d=84; «Вася и Дима собирали грибы. Вася нашёл m грибов, а Дима — n грибов. Из них d грибов засушили, а остальные засолили. Сколько грибов засолили?»

4. Найди значения выражений:

(73 + 59) — 73 (156 + 98) — 68 (345 + 217) — 245

5. а) В одном пакете 15 шоколадных конфет и 38 ирисок, а в другом — 26 шоколадных конфет. Каких конфет больше в этих пакетах: шоколадных или ирисок?

б) Мальчик попал на необитаемый остров. С первой пальмы он сорвал 10 бананов, но 3 банана у него отняла обезьяна. Со второй пальмы он сорвал 16 бананов. А ещё он нашёл 8 кокосовых орехов. Сколько у него теперь бананов? Сколько всего плодов?

7. Определи порядок действий в выражении и составь план действий:

а) m + (n — k) — (t + d)
б) (m + n) — к — (t + d)
в) m + (n — k — t)+ d
г) m + n — (k — t + d)

8. Найди значение выражения (а + b) + с, если а=168, b=495, с=5.

9. В трёх санаториях отдыхает 829 человек. В первом санатории отдыхает 245 человек. Это на 68 человек меньше, чем во втором санатории. Сколько отдыхающих в третьем санатории? Поставь другие вопросы к этому условию и ответь на них.

Найди все возможные способы прохождения лабиринтов:

11. Назови точки, отмеченные нз чертеже. Через каждые две — точки проведи прямые. Сколько таких прямых можно провести? Есть ли среди них параллельные и перпендикулярные прямые?

12*. Соедини последовательно точки отрезками. Что получилось?

Петерсон Людмила Георгиевна. Математика. 2 класс. Часть 2. — М.: Издательство «Ювента», 2005, — 64 с.: ил.

Помощь школьнику онлайн, Математика для 2 класса скачать, календарно-тематическое планирование

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

edufuture.biz

Вычитание натуральных чисел, правила, примеры и решения.

Мы имеем общее представление о вычитании натуральных чисел и знаем свойства вычитания натуральных чисел. Осталось научиться проводить это действие. В этой статье мы как раз все внимание направим на изучение правил, по которым выполняется вычитание натуральных чисел. Весь теоретический материал снабдим необходимыми примерами с подробными пояснениями решения. Также разберемся с проверкой результата вычитания.

Навигация по странице.

Связь вычитания со сложением.

Связь сложения с вычитанием заключается в следующем — вычитание является действием обратным для сложения. Что же это означает? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим пример.

Пусть мы сложили c и b предметов, при этом получили a предметов. В силу смысла сложения натуральных чисел имеем c+b=a (переместительное свойство сложения натуральных чисел позволяет также записать равенство вида b+c=a ). Понятно, что если из полученных a предметов отнять b предметов, то останется c предметов. Тогда в силу смысла вычитания натуральных чисел справедливо равенство a−b=c . Аналогично, если из a предметов отнять c предметов, то останется b предметов, то есть, a−c=b .

Рассмотренный пример наглядно демонстрирует, что если сумма чисел c и b равна a , то число c является разностью натуральных чисел a и b , а число b – разностью чисел a и c . То есть, c=a−b и b=a−c , если c+b=a .

Перефразировав последний вывод, получим следующее очень важное утверждение: если нам известно, что сумма двух чисел c и b равна a , то разность a−c равна b , а разность a−b равна c .

Теперь отчетливо видно, что вычитание неотделимо от сложения и можно дать определение вычитания на основе сложения.

Вычитание – это действие, с помощью которого находится одно слагаемое, когда известна сумма и другое слагаемое.

На это определение будем равняться при построении правил, по которым выполняется вычитание двух натуральных чисел.

Вычитание чисел с использованием таблицы сложения.

Таблица сложения может быть использована не только для нахождения суммы двух натуральных чисел, не превышающих десяти, но и для нахождения одного слагаемого, если известна сумма и другое слагаемое. Покажем, как это делается.

В качестве примера определим неизвестное слагаемое, если известное слагаемое равно 5, а сумма равна 8.

Это можно сделать двумя способами. Приведем сначала их графическую иллюстрацию (известные числа обведены красными линиями, а найденное — синей линией), а потом дадим необходимые комментарии.

Первый способ. Находим в таблице сложения строку, в крайней левой ячейке которой расположено известное слагаемое (в нашем примере это слагаемое равно 5). Теперь находим столбец, который пересекается с найденной строкой в ячейке, содержащей известную сумму (в нашем примере сумма равна 8). Искомое слагаемое – это число, стоящее в верхней ячейке найденного столбца. То есть, искомым слагаемым является число 3.

Второй способ. Находим в таблице сложения столбец, в верхней ячейке которого расположено известное слагаемое. После этого находим строку, которая пересекается с найденным столбцом в ячейке, содержащей известную сумму. Искомое слагаемое расположено в крайней левой ячейке этой строки.

Так как вычитание — это нахождение одного слагаемого по сумме и другому слагаемому, то таблицу сложения можно использовать и для вычитания натуральных чисел. Давайте рассмотрим решение примера.

Допустим, нам нужно вычесть из числа 16 число 7. Понятно, что вычитание данных натуральных чисел сводится к нахождению числа, которое в сумме с числом 7 даст число 16. Это мы можем сделать с помощью таблицы сложения двумя способами.

Так мы вычли из числа 16 число 7, искомая разность равна 9.

Рекомендуем довести до автоматизма навыки вычитания натуральных чисел с помощью таблицы сложения, так как на этой основе выполняется вычитание любых натуральных чисел.

Вычитание десятков из десятков, сотен из сотен, тысяч из тысяч и т.д.

С помощью таблицы сложения можно вычитать десятки из десятков, сотни из сотен, тысячи из тысяч и так далее. К примеру, по таблице сложения мы можем легко вычесть из числа 6 число 2, при этом получим 4. По аналогии, если из 6 десятков вычесть 2 десятка, то получим 4 десятка, то есть, 60−40=20. Аналогично, 6 сотен минус 2 сотни равно 4 сотням, то есть, 600−200=400. Так же мы можем вычесть тысячи, десятки тысяч и так далее.

Если вспомнить, что одна сотня – это десять десятков, одна тысяча – это десять сотен и так далее, то мы можем вычислять разности сотни и нескольких десятков, тысячи и нескольких сотен и так далее.

Для примера вычислим разность 100−70. Так как одна сотня равна десяти десяткам, то нам нужно вычесть из десяти десятков семь десятков. Из таблицы сложения имеем 10−7=3, тогда разность 10 десятков и 7 десятков равна 3 десяткам, то есть, 100−70=30.

Для закрепления материала найдем разность 100 000−80 000. Так как 100 000 – это 10 десятков тысяч, а 80 000 – это 8 десятков тысяч, а 10−8=2, тогда вычитание из десяти десятков тысяч восьми десятков тысяч дает 2 десятка тысяч. Имеем 100 000−80 000=20 000.

Вычитание натурального числа из суммы чисел.

Чтобы вычесть натуральное число из суммы двух чисел можно сначала вычислить сумму, после чего из нее вычесть данное натуральное число. А можно воспользоваться свойством вычитания натурального числа из суммы двух чисел, если это упростит процесс вычитания. Рассмотрим несколько примеров.

Вычтем из суммы 50+8 натуральное число 20. Сумма 50+8 представляет собой сумму разрядных слагаемых числа 58. Мы пока не знаем, как из 58 вычесть 20, поэтому будем искать другой вариант решения. Воспользуемся свойством вычитания натурального числа из суммы: так как 20 20 000+6 000+300+(50−20)+1=20 000+6 000+300+30+1=26 331 .

Покажем решение еще одного примера без пояснений:
(107+42+9)−3=107+42+(9−3)=107+42+6=155 .

Вычитание суммы чисел из натурального числа.

Чтобы вычесть сумму двух чисел из данного натурального числа, можно сначала вычислить сумму, после чего провести вычитание. Однако часто удобнее использовать свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа. Рассмотрим несколько примеров.

Читайте так же: Заявление на деятельность по енвд

Вычтем из числа 100 сумму 90+8. По свойству вычитания суммы из натурального числа имеем 100−(90+8)=(100−90)−8 . Находим 100−90=10 (10 десятков минус 9 десятков). Осталось лишь закончить вычисление: (100−90)−8=10−8=2 .

Приведем еще один пример. Отнимем от числа 17 сумму чисел 8 и 4. Имеем 17−(8+4)=(17−8)−4 . Из таблицы сложения находим, что 17−8=9, тогда (17−8)−4=9−4=5 . Кратко решение можно записать так: 17−(8+4)=(17−8)−4=9−4=5 .

Обратите внимание. Правую часть равенства a−(b+c)=(a−b)−c часто записывают без скобок, то есть, используют запись вида a−(b+c)=a−b−c . В этом случае подразумевается, что a−b−c=(a−b)−c . Например, разность 15−(7+2) равна значению числового выражения 15−7−2. Чтобы вычислить это значение нужно сначала от 15 отнять 7, после чего из полученного результата вычесть 2. Таким образом, 15−(7+2)=15−7−2=8−2=6 .

Аналогично, используя свойство вычитания суммы двух чисел из данного числа, а также сочетательное свойство сложения, мы можем вычесть из данного натурального числа сумму трех, четырех и большего количества чисел.

В качестве примера выполним вычитание из числа 1 000 суммы трех чисел вида 900+90+1. Для этого сумму 900+90+1 будем рассматривать как сумму двух слагаемых 900 и 90+1, то есть, 900+90+1=900+(90+1) (при необходимости просмотрите материал из раздела сложение трех и большего количества чисел). Теперь можно использовать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа: 1 000−(900+(90+1))=(1 000−900)−(90+1) . Так как 1 000−900=100, то (1 000−900)−(90+1)=100−(90+1) . И опять вычитаем сумму из числа: 100−(90+1)=(100−90)−1=10−1=9 . Краткая запись решения имеет вид 1 000−(900+90+1)=(1 000−900)−(90+1)=100−(90+1)=(100−90)−1=10−1=9 .

Заметим также, что разность 1 000−(900+90+1) можно записать в виде ((1 000−900)−90)−1 . Причем в последней разности, а также в разностях подобного вида, скобки часто не пишут, то есть, используют запись 1 000−900−90−1 . В этих случаях вычитание выполняется последовательно слева направо: сначала находится разность первых двух чисел, далее от полученного результата вычитается третье число, далее от полученного результата вычитается четвертое число и т.д.

Для примера вычтем из числа 20 сумму чисел 10, 4, 3 и 1. Имеем 20−(10+4+3+1)=20−10−4−3−1=10−4−3−1=6−3−1=3−1=2 .

Вычитание единиц из десятков, сотен, тысяч и т.д.

От числа 10 мы легко можем отнять любое из натуральных чисел от 1 до 9 с помощью таблицы сложения. А как вычесть, например, из числа 30 число 4 или из числа 60 число 5? В таких случаях следует уменьшаемое представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно 10, после чего вычесть натуральное число из суммы. Рассмотрим решение примера.

Вычтем из числа 60 число 5. Для этого уменьшаемое 60 нам нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 10. Второе число находится легко – для этого нужно из числа 60 вычесть 10. Так как 60−10=50, то 60=50+10. Теперь заменяем уменьшаемое 60 суммой 50+10, при этом получаем 60−5=(50+10)−5 . Осталось выполнить вычитание числа из суммы (об этом мы говорили в предыдущем пункте): (50+10)−5=50+(10−5)=50+5=55 .

Итак, с вычитанием единиц из десятков разобрались. Переходим к вычитанию единиц из сотен.

Чтобы из 100 вычесть натуральное число от 1 до 10 нужно число 100 представить в виде суммы 90+10, после чего воспользоваться правилом вычитания числа из суммы.

Для примера, найдем разность 100−7. Представляем число 100 в виде суммы 90+10 и выполняем необходимые действия: 100−7=(90+10)−7=90+(10−7)=90+3=93 .

Усложним пример. Отнимем от числа 500 число 3. Чтобы это сделать, нужно число 500 представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно 100. Второе слагаемое при этом равно разности 500−100, то есть, 400. Имеем 500=400+100. В свою очередь 100=90+10, тогда 500=400+90+10. Таким образом, 500−3=(400+90+10)−3 . Осталось воспользоваться правилом вычитания натурального числа из суммы и закончить вычисления:
(400+90+10)−3=400+90+(10−3)=400+90+7=497 .

С вычитанием единиц из сотен теперь тоже все понятно. Переходим к вычитанию единиц из тысяч.

Вычислим разность 1 000−8. Так как 1 000=900+100, а 100=90+10, то 1 000=900+90+10. Тогда 1 000−8=(900+90+10)−8=900+90+(10−8)=900+90+2=992 .

Теперь вычтем из 7 000 единицу. Действуем аналогично. Уменьшаемое 7 000 представляем в виде следующей суммы: 7 000=6 000+1 000=6 000+900+100=6 000+900+90+10. Следовательно,
7 000−1=(6 000+900+90+10)−1=6 000+900+90+(10−1)=6 000+900+90+9=6 999 .

С вычитанием единиц из тысяч тоже разобрались.

По аналогии, представляя вычитаемое в виде соответствующей суммы, мы можем вычислять разности десятков тысяч, сотен тысяч и так далее и любого однозначного натурального числа.

Для примера вычислим разность 100 000−4. Так как
100 000=90 000+10 000=90 000+9 000+1 000=90 000+9 000+900+100=90 000+9 000+900+90+10,
то
100 000−4=(90 000+9 000+900+90+10)−4=90 000+9 000+900+90+(10−4)=90 000+9 000+900+90+6=99 996 .

Рассмотрим решение еще одного примера. Вычтем из 4 000 000 число 5.

Так как
4 000 000=3 000 000+1 000 000=3 000 000+900 000+100 000=3 000 000+900 000+90 000+10 000=3 000 000+900 000+90 000+ 9 000+1 000=3 000 000+900 000+90 000+ 9 000+900+100=3 000 000+900 000+90 000+ 9 000+900+90+10,
то
4 000 000−5=(3 000 000+900 000+90 000+ 9 000+900+90+10)−5=3 000 000+900 000+90 000+ 9 000+900+90+(10−5)=3 000 000+900 000+90 000+ 9 000+900+90+5=3 999 995 .

Вычитание единиц из произвольных натуральных чисел.

Будем считать, что уменьшаемое является многозначным натуральным числом, которое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых (другие случаи мы рассмотрели в предыдущем пункте и при изучении вычитания с помощью таблицы сложения). Чтобы вычесть из такого натурального числа однозначное натуральное число, нужно уменьшаемое разложить по разрядам, после чего выполнить вычитание числа из суммы.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Вычислим разность чисел 46 и 2. Число 46 раскладывается по разрядам в сумму 40+6, тогда 46−2=(40+6)−2=40+(6−2)=40+4=44 .

Усложним пример. Вычтем из 46 число 8. Имеем 46−8=(40+6)−8 . Так как 8 больше, чем 6, то в этом случае: (40+6)−8=(40−8)+6 . Разность 40−8 вычислим так, как мы это делали в предыдущем пункте: 40−8=(30+10)−8=30+(10−8)=30+2=32 . Тогда (40−8)+6=32+6=38 .

Теперь отнимем от числа 6 047 число 5. Раскладываем по разрядам число 6 047 и вычитаем число из суммы: 6 047−5=(6 000+40+7)−5=6 000+40+(7−5)=6 000+40+2=6 042 .

Для закрепления навыков разберем решение еще одного примера.

Вычтем из числа 2 503 число 8. Раскладываем уменьшаемое по разрядам, при этом получаем 2 503−8=(2 000+500+3)−8 . Так как 8 больше, чем 3, но меньше, чем 500, то справедливо равенство (2 000+500+3)−8=2 000+(500−8)+3 .

Вычислим разность 500−8, для этого представляем число 500 в виде суммы 400+100=400+90+10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту этой статьи) и выполняем необходимые вычисления:
500−8=(400+90+10)−8=400+90+(10−8)=400+90+2=492 .

Осталось закончить вычисления: 2 000+(500−8)+3=2 000+492+3=2 495 .

Вычитание десятков, сотен и т.д. из произвольных натуральных чисел.

Чтобы вычесть десятки, сотни, тысячи и т.д. из некоторого натурального числа, нужно уменьшаемое представить в виде суммы некоторых слагаемых (если возможно, разложить по разрядам), после чего выполнить вычитание из этой суммы. Разберем этот процесс при решении примеров. Будем действовать по принципу от простого к сложному.

Для начала вспомним, как вычисляются разности, подобные следующей 100−70. Так как 100 – это десять десятков, а 10−7=3, то 100−70=30.

Теперь вычтем из 400 все тоже число 70. Для этого представим число 400 в виде суммы 300+100. Тогда 400−70=(300+100)−70 . По свойству вычитания числа из суммы имеем (300+100)−70=300+(100−70)=300+30=330 .

Еще немного усложним пример. Отнимем от числа 1 000 число 40. Так как тысяча – это девять сотен и еще одна сотня, то 1 000−40=(900+100)−40=900+(100−40)=900+60=960 .

Идем дальше. Вычислим разность 8 000−10. Так как 8 000=7 000+1 000, а 1 000=900+100, то 8 000=7 000+900+100. Тогда 8 000−10=(7 000+900+100)−10 . По правилу вычитания натурального числа из суммы имеем (7 000+900+100)−10=7 000+900+(100−10)=7 000+900+90=7 990 .

Аналогично десятки вычитаются из десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов и т.д.

Для примера вычислим разность 400 000−70. Число 400 000 можно представить в виде следующей суммы 300 000+90 000+9 000+900+100, тогда
400 000−70=(300 000+90 000+9 000+900+100)−70=300 000+90 000+9 000+900+(100−70)=300 000+90 000+9 000+900+30=399 993 .

С вычитанием десятков разобрались. По схожему принципу вычитаются сотни, тысячи и т.д. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Вычислим разность 5 000−800. Представим 5 000 в виде суммы 4 000+1 000. Тогда 5 000−800=(4 000+1 000)−800 . Теперь воспользуемся свойством вычитания числа из суммы: (4 000+1 000)−800=4 000+(1 000−800) . Так как тысяча – это десять сотен, то 1 000−800=200. Таким образом, 4 000+(1 000−800)=4 000+200=4 200 .

Отнимем от 20 000 000 число 40 000. Так как 20 000 000=10 000 000+10 000 000, а 10 000 000=9 000 000+1 000 000, а 1 000 000=900 000+100 000, то 20 000 000−40 000=(10 000 000+9 000 000+900 000+100 000)− 40 000 . Осталось вычесть число 40 000 из суммы:
(10 000 000+9 000 000+900 000+100 000)− 40 000=10 000 000+9 000 000+900 000+ (100 000−40 000)=10 000 000+9 000 000+900 000+60 000=19 960 000 .

Читайте так же: Работа горничной в гостинице с проживанием вахта

Теперь можно приступать к вычитанию десятков, сотен, тысяч и т.д. из любого натурального числа. Для этого вычитаемое нужно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Вычтем из числа 140 число 40. Так как 140=100+40, то 140−40=(100+40)−40 . Теперь вычитаем число из суммы: (100+40)−40=100+(40−40)=100+0=100 (40−40=0 в силу свойства вычитания двух равных натуральных чисел, а 100+0=100 в силу свойства сложения натурального числа с нулем).

А теперь вычтем из 140 число 60. Имеем 140−60=(100+40)−60 . Так как 60 больше, чем 40, то вычитание нужно проводить следующим образом: (100+40)−60=(100−60)+40=40+40=80 .

Отнимем от 10 432 число 300. Раскладываем уменьшаемое по разрядам и дальше применяем свойство вычитания числа из суммы трех и большего количества чисел:
10 432−300=(10 000+400+30+2)−300=10 000+(400−300)+30+2=
=10 000+100+30+2=10 132 .

В заключении этого пункта вычислим разность 231 112−7 000. Имеем
231 112−7 000=(200 000+30 000+1 000+100+10+2)−7 000=200 000+(30 000−7 000)+1 000+100+10+2 .

Все свелось к нахождению разности 30 000−7 000. Так как 30 000=20 000+10 000, то 30 000−7 000=(20 000+10 000)−7 000=20 000+(10 000−7 000)=20 000+3 000=23 000 . Воспользуемся этим результатом и закончим вычисления:
200 000+(30 000−7 000)+ 1 000+100+10+2=
=200 000+23 000+1 000+100+10+2=224 112 .

Вычитание произвольных натуральных чисел.

Осталось рассмотреть вычитание натуральных чисел, когда вычитаемое раскладывается в сумму разрядных слагаемых. В этом случае вычитание проводится следующим образом: после представления вычитаемого в виде суммы разрядных слагаемых используется свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа необходимое количество раз. Причем сначала удобнее вычитать единицы, затем – десятки, далее – сотни и т.д.

Для примера вычислим разность 45−32. Раскладываем вычитаемое 32 по разрядам: 32=30+2. Имеем 45−32=45−(30+2) . Для удобства в скобках переставим слагаемые местами 45−(30+2)=45−(2+30) (это мы можем делать в силу переместительного свойства сложения). Теперь применяем свойство вычитания суммы из числа: 45−(2+30)=(45−2)−30 . Осталось вычислить разность 45−2, после чего от полученного результата отнять число 30. Выполнение этих действий не вызовет затруднений, если Вы хорошо усвоили материал предыдущих пунктов. Итак, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43 . Тогда (45−2)−30=43−30 . Осталось представить уменьшаемое в виде суммы разрядных слагаемых и закончить вычисления: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Все решение удобно записывать в виде цепочки равенств:
45−32=45−(2+30)=(45−2)−30=((40+5)−2)−30=
=(40+(5−2))−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Немного усложним пример. Вычтем из числа 85 число 18. Раскладываем по разрядам число 18, при этом получаем 18=10+8. Меняем местами слагаемые: 10+8=8+10. Теперь вычитаем полученную сумму разрядных слагаемых из числа 85 и применяем свойство вычитания суммы из числа: 85−18=85−(8+10)=(85−8)−10 .

Вычисляем разность в скобках:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5=((70+10)−8)+5=(70+(10−8))+5=(70+2)+5=70+7=77 .

Тогда (85−8)−10=77−10=(70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Отнимем от числа 23 555 число 715. Так как 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700) , то 23 555−715=23 555−(5+10+700) . Вычитаем сумму из числа следующим образом: 23 555−(5+(10+700))=(23 555−5)−(10+700) .

Вычислим разность в скобках:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5=20 000+3 000+500+50+(5−5)=
=20 000+3 000+500+50+0=20 000+3 000+500+50=23 550 .

Тогда (23 555−5)−(10+700)=23 550−(10+700) . Еще раз обращаемся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700 .

Опять вычисляем разность в скобках:
23 550−10=(20 000+3 000+500+50)−10=20 000+3 000+500+(50−10)=
=20 000+3 000+500+40=23 540 .

Имеем
(23 550−10)−700=23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700=
=20 000+(3 000−700)+500+40 .

Вычтем из 3 000 число 700 и этот результат подставим в последнюю сумму: 3 000−700=(2 000+1 000)−700=2 000+(1 000−700)=2 000+300=2 300 , тогда 20 000+(3 000−700)+500+40=20 000+2 300+500+40=22 840 .

В заключение этого пункта необходимо отметить, что для вычитания двух натуральных чисел удобно использовать специальный метод, который получил название вычитание столбиком.

Вычитание натуральных чисел на координатном луче.

Посмотрим, что представляет собой вычитание натуральных чисел с точки зрения геометрии. Для этого нам понадобится координатный луч. Для удобства будем считать, что он расположен горизонтально и вправо.

Вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче можно истолковать следующим образом. Находим точку, координатной которой является уменьшаемое a . Теперь из этой точки в направлении точки O последовательно друг за другом будем откладывать единичные отрезки в количестве, определяемом вычитаемым b . Эти действия нас приведут в точку на координатном луче, координата которой равна разности a−b . Другими словами вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче представляет собой перемещение влево из точки с координатой a на расстояние b , при этом мы попадаем в точку с координатой a−b .

Приведенный ниже рисунок иллюстрирует вычитание на координатном луче из натурального числа 6 натурального числа 4 . После всех необходимых действий мы попадаем в точку с координатой 2 , и убеждаемся, что 6−4=2 .

Проверка результата вычитания натуральных чисел сложением.

Проверка результата вычитания двух натуральных чисел базируется на связи между вычитанием и сложением, о которой мы уже упоминали в первом пункте этой статьи. Там мы выяснили, что если c+b=a , то a−b=c и a−c=b . Также достаточно легко показать справедливость следующих обратных утверждений: если a−b=c , то c+b=a ; если a−c=b , то b+c=a . Покажем справедливость первого из них (для второго можно провести аналогичные рассуждения).

Пусть мы из a имеющихся предметов отложили в сторону b предметов, после чего у нас осталось c предметов. Этому действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство a−b=c . Если после этого мы вернем отложенные b предметов на место (добавим их к c предметам), то понятно, что у нас окажется исходное количество предметов, то есть, a . Тогда, обратившись к смыслу сложения натуральных чисел, можно говорить о справедливости равенства c+b=a .

Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее осуществить проверку результата вычитания посредством сложения: нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться число, равное уменьшаемому. Если же получится число, не равное уменьшаемому, то это будет свидетельствовать о том, что при вычитании где-то была допущена ошибка.

Осталось лишь разобрать решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата вычитания при помощи сложения.

Из натурального числа 50 было вычтено натуральное число 42 и было получено число 6 . Правильно ли было выполнено вычитание?

Проведем проверку полученного результата вычитания. Для этого прибавим к полученной разности вычитаемое: 6+42=48 (при необходимости обращайтесь к материалу статьи сложение натуральных чисел). Так как мы получили число, не равное уменьшаемому 50 , то можно утверждать, что вычитание было проведено неправильно.

проверка показала, что при вычитании была допущена ошибка.

Вычислите разность 1 024−11 , результат проверьте сложением.

Вычисляем разность: 1 024−11=1 024−(1+10)=(1 024−1)−10=1 023−10=1 013 .

Теперь выполняем проверку результата вычитания: 1 013+11=(1 000+10+3)+(10+1)=1 000+10+10+3+1=1 000+20+4=1 024 . Получили число, равное уменьшаемому, следовательно, разность вычислена правильно.

Проверка результата вычитания натуральных чисел вычитанием.

Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только с помощью сложения, но и с помощью вычитания. Для этого нужно от уменьшаемого отнять найденную разность, при этом должно получиться число, равное вычитаемому. Если же получается число, отличное от вычитаемого, то где-то была допущена ошибка.

Немного поясним озвученное правило, позволяющее осуществлять проверку результата вычитания натуральных чисел вычитанием. Представим, что у нас есть a фруктов, среди которых b яблок и c груш. Если мы отложим все яблоки в сторону, то у нас останется только c груш, при этом имеем a−b=c . Если бы мы отложили все груши, то у нас остались бы только b яблок, при этом a−c=b .

От натурального числа 543 было отнято натуральное число 343 , в результате было получено число 200 . Выполните проверку полученного результата.

Конечно же, проверить результат вычитания можно с помощью сложения: 200+343=543 . Так как полученное число равно уменьшаемому, то вычитание было проведено правильно.

Также можно выполнить проверку вычитания натуральных чисел с помощью вычитания. Для этого от уменьшаемого 543 отнимаем разность 200 , получаем 543−200=(500+43)−200=(500−200)+43=30+43=343 . Это число равно вычитаемому, поэтому вычитание выполнено верно.