Планиметрия правила

Планиметрия правила

Основы планиметрии

Аксиомы планиметрии

Система аксиом планиметрии состоит из девяти аксиом (ПI — ПIX). Сформулируем каждую из них.

Аксиома ПI. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Аксиома ПII. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома ПIII. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Причём, если отрезок разбить конечным числом точек, то его длина будет равняться сумме длин частей, на которые он разбивается этими точками.

Аксиома ПIV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

Аксиома ПV. Каждый угол имеет определённую меру, большую нуля. Развёрнутый угол в градусной мере равен 180°. Мера угла равна сумме мер углов, на которые он разбивается конечным числом лучей, проходящих между его сторонами.

Аксиома ПVI. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

Аксиома ПVII. От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной мерой, меньшей меры развёрнутого угла, и притом только один.

Аксиома ПVIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Аксиома ПIX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Основными фигурами планиметрии являются точка и прямая. На их основе строятся все фигуры планиметрии.

Треугольники

Определение: Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и называемых вершинами, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки и называемых сторонами.

а) — треугольник, а б) — не является треугольником.

Классификация треугольников

Треугольники делятся по:

I. Сторонам:

Разносторонние — треугольники, у которых все стороны разные.

Равнобедренные — треугольники, у которых две стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а оставшаяся сторона — основанием. Равные углы между боковыми сторонами и основанием называются боковыми углами. Высота, проведённая из вершины к основанию является медианой и биссектрисой.

Равносторонние (или правильные) — треугольники, у которых все стороны равны. Равносторонний треугольник будет равнобедренным для любой своей стороны. Углы равны \(60^<\circ>\) . Справедливы формулы для радиусов описанной ( \(R\) ) и вписанной ( \(r\) ) окружностей при известной стороне ( \(a\) ):

\(R = \frac<\sqrt<3>> <3>\cdot a; \ r = \frac<\sqrt<3>> <6>\cdot a; \ R = 2 \cdot r.\)

II. Углам:
Остроугольные — треугольники, у которых все углы меньше \(90^<\circ>\) .

Прямоугольные — треугольники, у которых один угол равен \(90^<\circ>\) . Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а оставшаяся сторона — гипотенузой. Справедлива теорема Пифагора.

Тупоугольные — треугольники, у которых один угол больше \(90^<\circ>\) .

а) — остроугольный, б) — прямоугольный, в) — тупоугольный треугольники.

Определение: Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Признаки равенства треугольников

Первый признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак: Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение: Треугольники называются подобными, если у них углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника.

Признаки подобия треугольников

Первый признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Второй признак: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны в равном отношении, то такие треугольники подобны.

Третий признак: Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Определение: Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высота \(BH\) в остроугольном (а), прямоугольном (б) и тупоугольном (в) треугольниках.

Читайте так же:  Подтверждение что мать одиночка

Основные свойства высоты:

  • Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
  • Высота прямоугольного треугольника, опущенная из прямого угла, разбивает треугольник на два подобных исходному.
  • Две высоты остроугольного треугольника отсекают от него подобные треугольники.
  • Определение: Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника со серединой противоположной стороны.

    Медианы \(AL, \ BH, \ CK\) в треугольнике \(ABC\)

    Основные свойства медианы:

    1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке \(O\) , называемой центроидом.
    2. \(AO:OL = BO:OH = CO:OK = 2:1\) .
    3. Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
    4. Определение: Биссектрисой треугольника называют отрезок, выходящий из вершины к противоположной стороне и делящий угол при вершине на равные углы.

      Биссектриса \(AN\) в треугольнике \(ABC\)

      Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

      Стандартные обозначения прямоугольного треугольника

      Далее мы будем использовать обозначения, изображённые на рисунке:

      Стандартные обозначения треугольника

      Теорема о сумме углов треугольника: Сумма всех углов треугольника равна \(180^<\circ>\) , т.е.

      \(\alpha + \beta + \gamma = 180^<\circ>.\)

      Теорема синусов:

      Теорема косинусов:

      \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos \gamma.\)

      Четырёхугольники

      Определение: Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно их соединяющих отрезков.

      Определение: Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

      Параллелограмм

      Теоремы:

      1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
      2. У параллелограмма противолежащие стороны и противоположные углы равны.

      Прямоугольник

      Определение: Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

      Прямоугольник

      Теорема: Диагонали прямоугольника равны.

      Определение: Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

      Теорема: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

      Определение: Квадратом (или правильным четырёхугольником) называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

      Квадрат

      Свойства квадрата:

    5. У квадрата все углы прямые.
    6. Диагонали квадрата равны.
    7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
    8. Периметр и площадь

      Мы будем использовать далее следующие обозначения: \(a_\) — сторона, \(h_>\) — высота, опущенная на сторону \(a_\) , \(p=\frac

      <2>\) — полупериметр.

    9. Периметр треугольника: \(P = a_ <1>+ a_ <2>+ a_<3>.\)
    10. Периметр параллелограмма и прямоугольника: \(P = 2 \cdot \left(a_ <1>+ a_<2>\right).\)
    11. Периметр ромба и квадрата: \(P = 4 \cdot a.\)
    12. Площадь треугольника:

      1. По стороне и высоте к ней:

      \(S = \frac<1> <2>\cdot a \cdot h_.\)

      2. По двум сторонам и углу между ними:

      3. По трём сторонам (ф. Герона):

      Площадь параллелограмма:

      Площадь прямоугольника:

      Площадь квадрата:

      Площадь правильного шестиугольника:

      babaev-an.ru

      Планиметрия правила

      При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

    13. Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
    14. Вертикальные углы равны между собой.
    15. Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

      Тогда, сумма углов треугольника:

      Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

      Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

      Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

      Формула Герона для площади треугольника:

      Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

      Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

    16. Все три медианы пересекаются в одной точке.
    17. Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
    18. В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.
    19. Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

      Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

      Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

      Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

    20. Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
    21. В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
    22. Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.
    23. Еще одно полезное свойство высот треугольника:

      Теорема косинусов:

      Теорема синусов:

      Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

      Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

      Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

      Площадь правильного треугольника:

      Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

      Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

      Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

      Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

      Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

      Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

    24. По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
    25. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
    26. По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
    27. Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

      Некоторые свойства трапеций:

    28. Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
    29. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
    30. В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
    31. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
    32. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
    33. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
    34. У равнобедренной трапеции диагонали равны.
    35. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
    36. Параллелограмм

      Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

      Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

      Некоторые свойства параллелограмма:

    37. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    38. Противоположные углы параллелограмма равны.
    39. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
    40. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
    41. Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
    42. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
    43. Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

      Площадь квадрата через длину его диагонали:

      Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

      Ромб и прямоугольник

      Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

      Свойства ромба:

      • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
      • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
      • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
      • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

        Свойства прямоугольника:

      • Диагонали прямоугольника равны.
      • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
      • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
      • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
      • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
      • Произвольные фигуры

        Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

        Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

        Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

        Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

        Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

        Сумма углов n-угольника:

        Центральный угол правильного n-угольника:

        Площадь правильного n-угольника:

        Окружность

        Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

        Теорема о касательной и секущей:

        Теорема о двух секущих:

        Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

        Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

        Свойство центральных углов и хорд:

        Свойство центральных углов и секущих:

        Длина окружности:

        Длина дуги окружности:

        Площадь круга:

        Площадь кругового сегмента:

        Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

        Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

        1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
        2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
        3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
        4. Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

          Нашли ошибку?

          Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

          ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их распространение, перепечатка или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону.

          educon.by

          С другой стороны , или , откуда BC =4 см. Ответ: BC =4 см.

          Задача 2. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны 10 и 12 см, соответственно. Найти длину основания.

          Решение. В ABC имеем AB = BC , BD ^ AC , AE ^ DC , BD =10 см и AE =12 см (см. рис.2). Пусть Прямоугольные треугольники AEC и BDC подобны (угол C общий); следовательно, или 10:12=5:6. Применяя теорему Пифагора к BDC , имеем , т.е. . В итоге, мы получили систему уравнений:

          Решая эту систему, получим . Итак AC=15 см.

          Задача 3. В треугольнике ABC , A В=5 см, Ð C равен 30 ° . Найти радиус описанного круга.

          Решение. По теореме синусов имеем

          .

          Значит , т.е. . Последовательно находим , т.е. см .

          Задача 4. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равна утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности ?

          Решение. Пусть О 1 и О2 – центры окружностей, А – точка касания (рис.4). Тогда О1А= R 1 , О1О2 = R 1 + R 2 , О2А=3 × R 2 (по условию). Требуется найти отношение . В прямоугольном треугольнике О1АО2 ( Ð А – прямой) имеем , или . Упростив это равенство, получим , откуда .

          Задача 5. Можно ли в четырехугольник ABCD со сторонами A В=7 см, В C =9 см, С D =8 c м, AD =6 см вписать окружность ?

          Решение. Так как суммы противоположных сторон равны:

          A В+С D =7+8=15 c м,

          B С+ AD =9+6=15 c м, то в него можно вписать окружность.

          Задача 5. Можно ли вокруг четырехугольник ABCD с углами Ð A =30 ° , Ð B =170 ° , Ð C =75 ° , Ð D =85 ° описать окружность?

          Решение. Так как суммы противоположных углов не равны:

          Ð A + Ð C =105 ° , Ð B + Ð D =255 ° , 105 ° ¹ 255 ° ,

          то вокруг такого четырехугольника нельзя описать окружность.

          alexlarin.net

          Читайте так же:  Правила использования пробела
    Обсуждение закрыто.