Непрерывные случайные величины закон распределения характеристики

Непрерывные случайные величины закон распределения характеристики

Непрерывные случайные величины закон распределения характеристики

Во втором случае графическое изображение имеет вид прямоугольников, основание которых соответствует ширине интервала xmin – xmax, а высота значению плотности вероятности.

Для непрерывной величины характерны те же параметры, что и для случайной: М(Х), D(X), σ(X).

6. Примеры распределений непрерывных случайных величин.

В качестве примеров распределения непрерывной случайной величины рассмотрим четыре вида теоретических распределений.

в) Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Очень часто закон распределения непрерывной случайной величины при неограниченном возрастании числа испытаний описывается выражением:

где: μ = M(x) – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение (соответственно, — дисперсия случайной величины), е – основание натурального логарифма.

Графически нормальное распределение имеет следующий вид:

Кривая имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки х = μ. Величина f(X) в этой точке определяется формулой:

т.е. максимальное значение функции φ(Х) зависит от величины среднего квадратичного отклонения.

При изменении параметра μ форма нормальной кривой не изменяется, график сдвигается влево или вправо.

При изменении параметра σ форма нормальной кривой изменяется. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. С увеличением параметра σ, кривая растягивается вдоль оси ОХ.

Одним из основных положений математической статистики является гипотеза о том, что абсолютное большинство генеральных распределений совпадает с каким-то теоретическим распределением, чаще всего – с нормальным законом распределения. Однако выборочные экспериментальные распределения могут отличаться (и значительно) от теоретических распределений.

б) Показательное, или экспоненциальное, распределение.

Непрерывная случайная величина X, функция плотности вероятности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее неизвестны, и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

в) Распределение Максвелла

Известно, что в газах молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении, причем скорости молекул могут иметь самые разнообразные значения в определенном интервале. Ввиду огромного количества молекул определить значение скорости каждой отдельной молекулы невозможно. Однако можно определить вероятности попадания скоростей молекул в определенный интервал, то есть определить закон распределения молекул по скоростям, или плотность вероятности. Максвеллом была теоретически определена эта функция плотности вероятности, и она выглядит следующим образом:

где: m – масса молекулы; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура газа. Графически распределение Максвелла представлено на рисунке, причем распределение будет сдвигаться вправо или влево в зависимости от температуры газа, на рисунке Т1 . е mgh / kT

где n – концентрация молекул на высоте h, n – концентрация у поверхности Земли.

Поделив обе части уравнения на n, получим функцию распределения молекул воздуха по высоте:

Графически эта функция представлена на рисунке.

Выводы и заключение

На сегодняшней лекции мы познакомились с основными понятиями теории вероятностей. Теория вероятностей служит для обоснования математической статистики. Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. С некоторыми понятиями математической статистики мы познакомимся на следующей лекции.

Читайте так же:  Госпошлина в загс реквизиты волгоград

studfiles.net

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Транскрипт

1 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, но какое именно заранее не известно. Примеры случайных величин: — количество студентов на лекции; — количество больных в городе; — число родившихся в течение суток в г. Кемерово; — продолжительность человеческой жизни. Случайные величины принято обозначать прописными латинскими буквами X, Y, Z,, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z, Вероятности случайных величин обозначают буквами с соответствующими индексами P( X x1 ) P( x1) P1 — запись показывает вероятность того, что случайная величина X принимает значение x 1. Случайные величины разделяют на дискретные и непрерывные. Дискретной называют случайную величину, принимающую отдельные друг от друга возможные значения, которые можно пронумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным. Например, количество мальчиков, родившихся в каком-либо месяце; количество рецептов, поступивших в аптеку в течение дня; число ударов пульса больного в минуту; количество осложнений после операций в данной больнице. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например, температура воздуха в течение дня; продолжительность человеческой жизни; время инкубационного периода заболевания. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Дискретная случайная величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Для описания случайной величины вводят понятие закона распределения.

2 Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной случай величины может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения и соответствующие их вероятности, т.е. X x 1 x P p 1 p x p x p Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. Ряд распределения можно представить графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат соответствующие их вероятности. Соединяют полученные точки отрезками. Построили ломаную, которая называется многоугольником распределения или полигоном распределения вероятностей (рис 1). рис 1 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Закон распределения полностью описывает дискретную случайную величину. Однако во многих случаях он неизвестен или не всегда удобен для анализа. Поэтому вводят числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Математическим ожиданием M (X ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности M ( X ) x p x p x p x p

3 3 Математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину, т.к. необходимо характеризовать разброс (рассеяние) значений случайной величины относительно математического ожидания. В качестве такой характеристики рассматривается дисперсия. Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата разности случайной величины X и ее математического ожидания X M ( M ) D( X ) X или D( X ) 1 x p Дисперсия D (X ) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) (X ) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии ( X ) D( X ) x p. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайную величину X можно характеризовать не только законом распределения. Закон распределения характеризует вероятности событий X x для разных x. Однако можно рассматривать вероятности события X x, где x — текущая переменная. Под выражением X x понимается событие «случайная величина X приняла значение меньшее x». Вероятность P( X является некоторой функцией от x, которая называется функцией распределения. Функцией распределения случайной величины X называется функция F (X ), равная вероятности P( X того, что случайная величина приняла значение, меньшее x. 1 F( X ) P( X (X Функцию распределения F ) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Функция распределения существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Свойства функции распределения. 1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей 0 F ( X ) 1

Читайте так же:  Приказ генпрокуратуры 33

4 4. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т.е. если x1 x, то F( x1 ) F(. 3. Вероятность попадания случайной величины в интервал x 1, x равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е. P x X x ) F( x ) F( ) ( 1 x1 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Для непрерывной случайной величины можно дать еще одно определение: Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывно в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Непрерывную случайную величину X можно задать не только с помощью функции распределения F (X ), но и с помощью плотности вероятности. Плотностью вероятности (плотностью распределения) f ( непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения F( Иногда функцию f ( называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения. График плотности вероятности f ( называют кривой распределения. Кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс, и площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины 1. Плотность вероятности неотрицательная функция 0.. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал, равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от до X P dx 3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле x F (

5 5 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Числовые характеристики непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f ( определяются аналогично числовым характеристикам дискретных случайных величин. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку,, называют величину определенного интеграла M ( X ) xf( dx Если возможные значения x принадлежат всей числовой оси Ox, то M ( X ) xf( Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку,, называют величину определенного интеграла D ( X ) ( x ) Если возможные значения x принадлежат всей числовой оси Ox, то D ( X ) ( x ) Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины D ( X ).

docplayer.ru

Непрерывные случайные величины

Теория
Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной . Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.
Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.
Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие вероятности.
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р1 + р2 + … + рn = 1.

Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат – соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.

Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x1 Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х

mathmetod.wikispaces.com

Курс лекций по дисциплине «Математика и информатика». Математика


Загрузить всю книгу

Читайте так же:  Как списать прошлых лет налоги

Часть 3. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения
Глава 5. Случайные величины
5.1. Понятие случайной величины

В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Выпадение некоторого значения случайной величины Х это случайное событие: Х = хi. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.

Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть:

Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу

5.3.3. Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин

На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.

Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

.

Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:

.

1. Математическое ожидание по формуле (5.11):

.

.

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X , равномерно распределенной на интервале (2;6).

.

.

Среднее квадратическое отклонение:

Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [ a , b ], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.

Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [ a , b ], определяется по формуле (5.9а).

Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.

Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения по формуле (5.14) равна:

,

где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.

Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей равна:

.

Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле (5.9а) вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка превышающая значение 0,04:

.

Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:

.

Рис. 5.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [a;b]

Непрерывная случайная величина x имеет нормальльное распределение с параметрами: m, s > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:

edu.tltsu.ru


Обсуждение закрыто.