Нахождение пределов с помощью правила лопиталя

Правило Лопиталя

Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя

Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.

• 

  • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)

  • 

    • 1

  • 

    • +oo

    • 

      • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x

      • 

        • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)

        • 

          • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5

          • 
• ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3

• 

  • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )

  Правила ввода выражений и функций

  Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

  absolute(x) Абсолютное значение x
  (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
  (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

  В выражениях можно применять следующие операции:

  Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

  www.kontrolnaya-rabota.ru

  Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

  

  

  Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

  Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть

  или

  . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций

  , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

  

  Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

  Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

  Например, найти

  . Этот предел существует

  . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

  Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

  Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

  Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

  1. .

  2. .

  3. .

  4. 

  5. 

  Обозначим

  .

  Прологарифмируем это равенство

  . Найдем

  .

  Так как lny функция непрерывная, то

  . Следовательно,

  или

  .

  Пусть функция y=f(x) задана на (a, b) и x Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

  Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x)=Pn(x). Будем искать его в виде

  

  В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты

  .

  Для того чтобы этот многочлен был «близок» к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

  

  Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты

  многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.

  Введем обозначение n!=1·2·3…n, 0!=1, 1!=1.

  Подставим в (1) x=x и найдем

  , но с другой стороны

  . Поэтому

  

  Далее найдем производную

  и вычислим

  Следовательно,

  .

  Учитывая третье условие и то, что

  ,

  получим

  , т.е.

  .

  Далее

  . Значит,

  , т.е.

  .

  Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

  

  Подставляя найденные значения коэффициентов

  в формулу (1), получим искомый многочлен:

  

  Обозначим

  и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x. Отсюда

  и, следовательно,

  если остаточный член будет мал.

  Оказывается, что если x Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1) (x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x и x такая, что остаток можно представить в виде:

  

  Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

  где x Î (x, x) называется формулой Тейлора.

  Если в этой формуле положить x=0, то она запишется в виде

  

  где x Î ( x, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

  РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

   

  Рассмотрим функцию f(x)=e x . Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

  

  Таким образом, получаем

  

  Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .

  Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

  причем остаток

  

  Отметим, что для любого x Î R остаточный член

  

  Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина e ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e ξ x . Докажем, что при фиксированном x

  

  Имеем

  

  Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x| N можем написать

  

  Но

  , не зависящая от n, а

  так как q x с любой степенью точности.

  Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

  Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

  Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

  

  Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

  .

  Так как

  , то аналогично разложению e x можно показать, что

  для всех x.

  Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

  

  Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

  

  Таким образом, sin 20°=0,342 с точностью до 0,001.

  f(x)=cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

  

  Здесь также

  для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

  f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

  Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

  

  Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

  

  Можно доказать, что если x Î (–1;1],то

  , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

  При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

  

  Можно показать, что при |x| f(x2).

  Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

  Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

  Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

  Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

  Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

• Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.
• Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a 0, то x 0. Но тогда и

  Аналогично, если Δx x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x) 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1,x1 – x2>0 Þ

  , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то

на этом отрезке. Если

на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)

www.toehelp.ru

Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя

Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.

Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

Предел функции в точке — правило Лопиталя

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Точка в которой необходимо посчитать предел

Правило Лопиталя

Если выполняются следующие условия:

• пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
  или ;
• функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
• производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
• и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):

Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
,

И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:

+ — сложение
— — вычитание
* — умножение
/ — деление
^ — возведение в степень

и следующих функций:

• • sqrt — квадратный корень
  • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
  • exp — e в указанной степени
  • lb — логарифм по основанию 2
  • lg — логарифм по основанию 10
  • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
  • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
  • sin — синус
  • cos — косинус
  • tg — тангенс
  • ctg — котангенс
  • sec — секанс
  • cosec — косеканс
  • arcsin — арксинус
  • arccos — арккосинус
  • arctg — арктангенс
  • arcctg — арккотангенс
  • arcsec — арксеканс
  • arccosec — арккосеканс
  • versin — версинус
  • vercos — коверсинус
  • haversin — гаверсинус
  • exsec — экссеканс
  • excsc — экскосеканс
  • sh — гиперболический синус
  • ch — гиперболический косинус
  • th — гиперболический тангенс
  • cth — гиперболический котангенс
  • sech — гиперболический секанс
  • csch — гиперболический косеканс
  • abs — абсолютное значение (модуль)
  • sgn — сигнум (знак)

planetcalc.ru

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $ 0/0 $ и $ infty/infty $ . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Содержание

Точная формулировка Править

Правило говорит, что если функции $ f(x) $ и $ g(x) $ обладают следующим набором условий:

тогда существует $ lim_<frac>=lim_<frac> $ . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История Править

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

Доказательство Править

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида $ left(frac<0><0>right) $ ).

Поскольку мы рассматриваем функции $ f $ и $ g $ только в правой проколотой полуокрестности точки $ a $ , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $ f(a)=g(a)=0 $ . Возьмём некоторый $ x $ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $ [a,;x] $ теорему Коши. По этой теореме получим:

но $ f(a)=g(a)=0 $ , поэтому $ forall x, exists c in [a,;x]!:frac=frac $ .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $ A $ , из полученного равенства выводим:

$ forall varepsilon>0, exists delta>0, forall x(x-a $ forall M > 0, exists delta>0, forall x(x-a M) $ для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида $ left(frac<infty><infty>right) $ .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $ A $ . Тогда, при стремлении $ x $ к $ a $ справа, это отношение можно записать как $ A+alpha $ , где $ alpha $ — O(1). Запишем это условие:

$ forallvarepsilon_<1>, exists delta_<1>, forall x(x-a

Зафиксируем $ t $ из отрезка $ [a,;a+delta_1] $ и применим теорему Коши ко всем $ x $ из отрезка $ [a,;t] $ :

Для $ x $ , достаточно близких к $ a $ , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $ f(t) $ и $ g(t) $ — константы, а $ f(x) $ и $ g(x) $ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $ 1+beta $ , где $ beta $ — бесконечно малая функция при стремлении $ x $ к $ a $ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $ varepsilon $ , что и в определении для $ alpha $ :

$ forall varepsilon_<1>, exists delta_<2>, forall x(x-a

Получили, что отношение функций представимо в виде $ (1+beta)(A+alpha) $ , и $ left|frac-Aright| $ forall M>0, exists delta_<1>>0, forall x(x-a 2M) $ .

В определении $ beta $ будем брать $ varepsilon_ <1>frac<1><2>cdot 2M=MRightarrow lim_<frac>=+infty $ .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

ru.math.wikia.com

Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

Правило Лопиталя: история и определение

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

Теперь перейдем к примерам.

Найти предел по правилу Лопиталя:

Вычислить с использованием правила Лопиталя:

Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

zaochnik.ru

Читайте так же: Бюрчиева адвокат