Правило Лопиталя

Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя

Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.

• 
  • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
  • 
    • 1
    • 
      • +oo
      • 
        • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
        • 
          • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
          • 
            • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
            • 
              • ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
              • 
                • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )

                Правила ввода выражений и функций

                Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

                absolute(x) Абсолютное значение x
                (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
                (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

                В выражениях можно применять следующие операции:

                Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

                www.kontrolnaya-rabota.ru

                Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

                

                

                Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

                Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

                

                Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

                Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

                Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

                Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

                Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

                Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

                1. .
                2. .
                3. .
                4. 
                5. 

                Обозначим .

                Прологарифмируем это равенство . Найдем .

                Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .

                Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

                Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P_n(x). Будем искать его в виде

                

                В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

                Для того чтобы этот многочлен был «близок» к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

                

                Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена P_n(x) исходя из условия равенства производных.

                Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

                Подставим в (1) x = x и найдем , но с другой стороны . Поэтому

                Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

                Учитывая третье условие и то, что

                ,

                получим , т.е. .

                Далее . Значит, , т.е. .

                Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

                Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

                

                Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

                Оказывается, что если x Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1) (x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x и x такая, что остаток можно представить в виде:

                

                Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

                где x Î (x, x) называется формулой Тейлора.

                Если в этой формуле положить x = 0, то она запишется в виде

                

                где x Î ( x, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

                РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

                Рассмотрим функцию f(x)=e x . Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

                

                Таким образом, получаем

                

                Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .

                Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

                причем остаток

                Отметим, что для любого x Î R остаточный член

                Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина e ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e ξ x . Докажем, что при фиксированном x

                Имеем

                Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x| N можем написать

                

                Но , не зависящая от n, а так как q x с любой степенью точности.

                Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

                Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

                

                Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

                

                Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

                .

                Так как , то аналогично разложению e x можно показать, что для всех x.

                Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

                

                Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

                

                Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

                f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

                

                Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

                f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

                Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

                

                Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

                

                Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

                При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

                

                Можно показать, что при |x| f(x₂).

                Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

                Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

                Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

                Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

                Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

              • Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.
              • Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a 0, то x 0. Но тогда и Аналогично, если Δx x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x) 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x₁ и x₂ таких, что x₁,x₁ – x₂>0 Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

              Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

              Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

              Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.

              Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

              Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)
              

              www.toehelp.ru

              Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя

              Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.

              Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

              

              Предел функции в точке — правило Лопиталя

              Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

              Точка в которой необходимо посчитать предел

              Правило Лопиталя

              Если выполняются следующие условия:

              • пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
                или ;
              • функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
              • производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
              • и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):

              Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
              ,

              И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

              В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:

              + — сложение
              — — вычитание
              * — умножение
              / — деление
              ^ — возведение в степень

              и следующих функций:

              • sqrt — квадратный корень
              • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
              • exp — e в указанной степени
              • lb — логарифм по основанию 2
              • lg — логарифм по основанию 10
              • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
              • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
              • sin — синус
              • cos — косинус
              • tg — тангенс
              • ctg — котангенс
              • sec — секанс
              • cosec — косеканс
              • arcsin — арксинус
              • arccos — арккосинус
              • arctg — арктангенс
              • arcctg — арккотангенс
              • arcsec — арксеканс
              • arccosec — арккосеканс
              • versin — версинус
              • vercos — коверсинус
              • haversin — гаверсинус
              • exsec — экссеканс
              • excsc — экскосеканс
              • sh — гиперболический синус
              • ch — гиперболический косинус
              • th — гиперболический тангенс
              • cth — гиперболический котангенс
              • sech — гиперболический секанс
              • csch — гиперболический косеканс
              • abs — абсолютное значение (модуль)
              • sgn — сигнум (знак)

              planetcalc.ru

              В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $ 0/0 $ и $ \infty/\infty $ . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

              Содержание

              Точная формулировка Править

              Правило говорит, что если функции $ f(x) $ и $ g(x) $ обладают следующим набором условий:

              тогда существует $ \lim_<\frac> = \lim_<\frac> $ . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

              История Править

              Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

              Доказательство Править

              1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида $ \left(\frac<0><0>\right) $ ).

              Поскольку мы рассматриваем функции $ f $ и $ g $ только в правой проколотой полуокрестности точки $ a $ , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $ f(a)=g(a)=0 $ . Возьмём некоторый $ x $ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $ [a,\;x] $ теорему Коши. По этой теореме получим:

              но $ f(a)=g(a)=0 $ , поэтому $ \forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac=\frac $ .

              Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $ A $ , из полученного равенства выводим:

              $ \forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a $ \forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a M) $ для бесконечного,

              что является определением предела отношения функций.

              2. Докажем теорему для неопределённостей вида $ \left(\frac<\infty><\infty>\right) $ .

              Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $ A $ . Тогда, при стремлении $ x $ к $ a $ справа, это отношение можно записать как $ A+\alpha $ , где $ \alpha $ — O(1). Запишем это условие:

              $ \forall\varepsilon_<1>\, \exists \delta_<1>\, \forall x(x-a

              Зафиксируем $ t $ из отрезка $ [a,\;a+\delta_1] $ и применим теорему Коши ко всем $ x $ из отрезка $ [a,\;t] $ :

              Для $ x $ , достаточно близких к $ a $ , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $ f(t) $ и $ g(t) $ — константы, а $ f(x) $ и $ g(x) $ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $ 1+\beta $ , где $ \beta $ — бесконечно малая функция при стремлении $ x $ к $ a $ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $ \varepsilon $ , что и в определении для $ \alpha $ :

              $ \forall \varepsilon_<1>\, \exists \delta_<2>\, \forall x(x-a

              Получили, что отношение функций представимо в виде $ (1+\beta)(A+\alpha) $ , и $ \left|\frac-A\right| $ \forall M>0\, \exists \delta_<1>>0\, \forall x(x-a 2M) $ .

              В определении $ \beta $ будем брать $ \varepsilon_ <1>\frac<1><2>\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_<\frac>=+\infty $ .

              Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

              ru.math.wikia.com

              Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

              Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

              Правило Лопиталя: история и определение

              На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

              Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

              

              Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

              Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

              Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

              Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

              Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

              

              Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

              Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

              Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

              В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

              

              Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

              

              Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

              

              Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

              

              Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

              

              Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

              

              Теперь перейдем к примерам.

              Найти предел по правилу Лопиталя:

              

              Вычислить с использованием правила Лопиталя:

              

              Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

              Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

              

              Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

              

              Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

              zaochnik.ru

              Читайте так же:  Штрафы гибдд сургутского района