Центр инерции Закон движения центра инерции

Журнал «Квант»

Система материальных точек. Уравнение поступательного движения системы материальных точек. Центр инерции

Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называют механической системой.

Силы, с которыми взаимодействуют материальные точки системы между собой, называют внутренними силами. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют тела, не входящие в данную систему (внешние тела), называют внешними силами.

Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой, или изолированной, системой.

Для простоты рассуждений рассмотрим вначале систему, состоящую из двух материальных точек с массами m1 и m2, которые расположены на оси абсцисс в точках с координатами x1 и x2 (рис. 1). Расстояние между этими точками l=x2 — x1. Точку С, которая де лит это расстояние на отрезки, обратно пропорциональные массам, называют центром масс.

Следовательно, по определению

m_1 (x_c — x_1)=m_2 (x_2 — x_c)]. Отсюда

Формула (2) позволяет определить координату центра масс системы, состоящей из двух материальных точек.

Выражение (2) можно обобщить на систему n материальных точек, расположенных произвольным образом. Координата центра масс

Аналогичные выражения получаются и для координат yc и zc.

Положение центра масс можно также определить с помощью радиуса-вектора:

vec r_i) — масса и радиус-вектор i-й частицы.

При движении материальных точек системы координаты их изменяются. Записав выражение (3) для двух моментов времени t1 и t2, вычтем одно из другого и получим:

Разделив обе части этого выражения на промежуток времени Δt=t2 — t1, имеем:

где υcx, υ1x . υnx — проекции на ось Ox векторов скорости движения центра масс и материальных точек 1, 2 . n.

Аналогичные выражения можно записать и для проекции скорости на оси Оу и Oz.

Выражение для нахождения скорости движения центра масс в векторном виде:

При движении материальных точек системы центр масс перемещается. Определим, от чего зависит характер движения центра масс.

Для этого рассмотрим систему двух материальных точек. Пусть на эти материальные точки действуют внешние силы (

vec F_2) и эти точки взаимодействуют между собой силами (

Запишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона:

begin m_1 vec a_1=vec F_ <12>+ vec F_1; \ m_1 vec a_2=vec F_ <21>+ vec F_2. end)

Выразим ускорение точек через их начальные (

vec upsilon_1) и (

vec upsilon_2) и конечные (

vec upsilon_1,’) и (

vec upsilon_2,’) скорости:

Подставим полученные выражения во второй закон Ньютона:

begin m_1 (vec upsilon_1,’ — vec upsilon_1)=(vec F_ <12>+ vec F_1) Delta t; \ m_2 (vec upsilon_2,’ — vec upsilon_2)=(vec F_ <21>+ vec F_2) Delta t. end)

Складывая эти равенства, имеем:

(m_1 vec upsilon_1,’ + m_2 vec upsilon_2,’) — (m_1 vec upsilon_1 + m_2 vec upsilon_2)=(vec F_ <12>+ vec F_<21>) Delta t + (vec F_1 + vec F_2) Delta t. qquad (5))

Поскольку по третьему закону Ньютона (

vec F_ <12>+ vec F_ <21>=0). Из формулы (4) получаем:

begin m_1 vec upsilon_1 + m_2 vec upsilon_2=vec upsilon_c (m_1 + m_2); \ m_1 vec upsilon_1,’ + m_2 vec upsilon_2,’=vec upsilon_c,’ (m_1 + m_2). end)

vec upsilon_c) и (

vec upsilon_c,’) — скорости движения центра масс в начальный момент времени и через промежуток времени Δt. Тогда равенство (5) можно записать так:

(m_1 + m_2) cdot (vec upsilon_c,’ — vec upsilon_c)=(vec F_1 + vec F_2) Delta t. qquad (6))

Выражение (6) показывает, что изменить скорость движения центра масс системы материальных точек могут только внешние силы, внутренние силы изменяют скорости движения отдельных материальных точек.

Обозначим m1 + m2=M, где Μ — суммарная масса материальных точек системы. Следовательно,

frac <Delta t>=vec F_1 + vec F_2 Rightarrow M frac<Delta vec upsilon_c> <Delta t>=vec F_1 + vec F_2 Rightarrow M vec a_c=vec F_1 + vec F_2 Rightarrow M vec a_c=sum^n_ vec F_i. qquad (7))

т. е. центр масс системы движется как материальная точка в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (7) представляет собой закон движения центра масс.

Если система материальных точек замкнутая, т. е. (

sum^n_ vec F_i=0), то (

Следовательно, центр масс замкнутой системы материальных точек движется равномерно и прямолинейно либо остается неподвижным независимо от того, как движутся отдельные материальные точки системы.

Читайте так же: Налог от продажи земельного участка в собственности менее 3 лет 2018

Так, если в инерциальной системе отсчета центр масс замкнутой системы был неподвижен в какой-то момент времени, то он будет оставаться в покое, несмотря на движение отдельных материальных точек системы в результате их взаимодействия.

Таким образом, центр масс (центр инерции) системы, положение которого характеризует распределение масс этой системы и определяется формулой (3), а скорость которого определяется формулой (4), является характерной точкой для системы, поведение которой подчиняется законам Ньютона и не зависит от природы сил взаимодействия в системе.

Понятие центра масс относится и к одиночному телу, которое можно представить как совокупность материальных точек. Центр масс тела можно рассматривать как точку (находящуюся внутри тела или вне его), в которой пересекаются линии действия сил, приводящих данное тело в поступательное движение. Центр масс тела совпадает с его центром тяжести.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 43-46.

www.physbook.ru

Конспект лекций

Загрузить всю книгу

§15. Центр масс системы. Уравнение движения центра масс

Т.к. мы рассматриваем движение со скоростями V ый закон Ньютона, и скорость этой точки надо считать скоростью движения системы как целого. Если скорость движения центра масс равна нулю, то говорят, что система покоится, а VC-есть скорость движения всей системы в целом. Из (15.10.) следует, что:

импульс системы равен произведению массы системы на скорость движения ее центра масс.

Уравнение движения центра масс. Запишем основной закон динамики поступательного движения механической системы, используя понятие центра масс, получим:

где Fвнеш — результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть уравнение движения центра масс системы одно из важнейших уравнений механики.

Центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке (С) и к ней были бы приложены все внешние силы.

Например: снаряд движется по параболе в безвоздушном пространстве, если в некоторый момент времени снаряд разорвётся, то осколки снаряда будут далее разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать своё движение по параболической траектории, как если бы взрыва не было.

При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил. Из уравнения (15.12.) следует, что если S Fвнеш=0, то dVC/dt º 0, а это значит, VC=const. А если VC=const, то и импульс системы pC=const.

Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения. Разумеется, что справедливо и обратное утверждение.

Уравнение (15.12.) совпадает по форме с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. В неинерциальных системах отсчета результирующая всех внешних сил включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции.

В тех случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не ее движение как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр масс покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления и соответствующие расчеты.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или, кратко, Ц — системой отсчета.

Отличительной особенностью Ц — системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю — это непосредственно следует из уравнения (15.12.), т.к. в Ц — системе VC=0. Другими словами любая система частиц как целое покоится в своей Ц — системе.

Для замкнутой системы частиц ее Ц — система является инерциальной, для незамкнутой в общем случае неинерциальной. Ц — система играет существенную роль в физике. Это обусловлено рядом преимуществ, которые дает ее применение во многих случаях (мы будем обращаться к Ц — системе в динамике твердого тела, в теории столкновений частиц и т.д.).

Система из двух частиц. Покажем, что суммарный импульс частиц в системе центра масс (Ц — системе) всегда равен нулю: p 1 C + p 2 C=0.

Читайте так же: Ветировал закон что значит

Пусть массы частиц m1 и m2, а их скорости в исходной К — системе отсчета-V1 и V2 соответственно. Найдем импульсы этих частиц в Ц — системе. Все величины в Ц — системе будем обозначать индексами — ic.

edu.tltsu.ru

Закон сохранения центра масс

Центр масс замкнутой системы тел (м.т.) движется равномерно и прямолинейно или покоится .

Изменение положения ц. м. в пространстве характеризуется радиусом-вектором

или изменением его координат xc , yc и zc :

Тогда суммарный импульс каждой м.т. системы запишется в виде:

Переходя к бесконечно малым перемещениям в течение времени dt найдем скорость движения ц.м., т.е. продифференцируем выражение (3.19 ) по времени, где

— суммарная масса тел (м.т.), входящих в систему, а производные

— проекции скорости движения ц. м. системы на оси координат.

В выражении (3.20) справа — проекции вектора импульса тел системы.

Действительно, если учесть, что , где v c — скорость центра масс, то ,

где m i v i — импульс i-го тела (м.т.). Тогда

Полный импульс механической системы равен импульсу м.т. (тел) с массой, равной суммарной массе тел системы и движущейся как движется её центр масс.

Дифференцируя правую и левую части равенства (3.21) по времени, получим

так как, согласно второму закону Ньютона сумма справа в (3.22) равна сумме всех сил, действующих на каждую м.т. как внешних, так и внутренних. По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно взаимодействующих частиц (м.т.) компенсируют друг друга. Поэтому, остаётся только сумма всех внешних сил, т.е.

Формулу (3.24) называют уравнением движения центра масс.

Центр масс механической системы движется, как двигалась бы м.т., в которой сосредоточена вся масса тел системы, под действием результирующей внешних сил, приложенных к м.т., входящим в систему.

Если система замкнута, то сумма всех внешних сил равна нулю:

;

если m=c onst , то

.

Замечание: Скорость ц. м. определяется полным импульсом механической системы, поэтому перемещение ц. м. характеризует движение этой системы как единого целого.

Этот вывод согласуется с законом инерции Галилео Галилей (для свободных тел).

ГАЛИЛЕЙ (Galilei) Галилео (1564-1642), итальянский ученый, один из основателей точного естествознания. Боролся против схоластики, считал основой познания опыт. Заложил основы современной механики: выдвинул идею об относительности движения, установил законы инерции, свободного падения и движения тел по наклонной плоскости, сложения движений; открыл изохронность колебаний маятника; первым исследовал прочность балок. Построил телескоп с 32-кратным увеличением и открыл горы на Луне, 4 спутника Юпитера, фазы у Венеры, пятна на Солнце. Активно защищал гелиоцентрическую систему мира, за что был подвергнут суду инквизиции (1633), вынудившей его отречься от учения Н. Коперника. До конца жизни Галилей считался «узником инквизиции» и принужден был жить на своей вилле Арчетри близ Флоренции. В 1992 папа Иоанн Павел II объявил решение суда инквизиции ошибочным и реабилитировал Галилея.

Действительно, между частицами тела могут действовать любые силы, например, тело может вращаться, но, согласно закону сохранения ц. м. при отсутствии внешних воздействий, он (ц. м.) будет перемещаться только равномерно и прямолинейно или покоиться.

Выводы о движении ц. м. позволяют широко использовать их при решении задач механики, поскольку уменьшают число уравнений, необходимых для решения задачи. Например, взаимодействие двух тел (задача о движении двух тел).

Кроме того, импульс ц. м. связан со скоростью ц. м. так же, как импульс и скорость одной частицы. Коэффициент пропорциональности m между импульсом и скоростью ц. м. равен сумме масс отдельных частиц, поэтому имеет смысл массы всей системы.

В этом и заключается закон аддитивности масс.

Замечание: Для однозначного определения движения тела (м.т.) к уравнениям движения необходимо добавить начальные условия.

В зависимости от положения и скоростей тел их движения могут сильно отличаться друг от друга: тело может описывать параболу, двигаться вверх или вниз по прямой относительно поверхности Земли и т.д. Движения выглядят неодинаково потому, что законы Ньютона описываются дифференциальными уравнениями, а этого недостаточно, чтобы полностью определить движение. Для этого и нужны начальные условия.

files.lib.sfu-kras.ru

Учебные материалы по механике

Теорема о движении центра масс механической системы

Выделим условно из механической системы (рисунок 1.1) некоторую материальную точку Mj(mj), на которую будут действовать две силы:

Fj i – равнодействующая всех внутренних сил системы;
Fj e – равнодействующая всех внешних сил системы.

Рассматривая выделенную точку как свободную, запишем для нее дифференциальное уравнение в векторной форме:

Составим аналогичным образом уравнения (1.5) для всех точек системы (j=1,2,3,…,n) и формально их просуммируем:

Читайте так же: Суды сзао г москвы

Рассмотрим суммы, стоящие в правой части равенства (1.6):
∑Fj i=R i – главный вектор всех внутренних сил механической системы, который всегда равен нулю (по свойству внутренних сил);
∑Fj e=R e – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему.

Преобразуем левую часть равенства (1.6):

В результате уравнение (1.6) принимает вид

Теорема о движении центра масс механической системы: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, под действием главного вектора внешних сил, действующих на эту механическую систему.

Проецируя векторное равенство (1.8) на неподвижные оси декартовых координат, получаем три дифференциальных уравнения движения центра масс:

Рассмотрим следствия из теоремы о движении центра масс, вытекающие из формул (1.8) и (1.10):

1. если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, т.е. R e=∑Fj e=0, то ac=0 или Vc=const. При этом, если в начальный момент центр масс механической системы был в покое (Vc=0), то и в дальнейшем центр масс остается неподвижным (rc=const);
2. если проекция на какую-либо ось (например на ось Ox) главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, т.е. Rx e=∑Xj e=0, то acx=0 или Vcx=const, т.е. имеем закон сохранения проекции скорости центра масс: если проекция главного вектора (алгебраическая сумма проекций) всех действующих на механическую систему внешних сил на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту же ось остается постоянной.

В частности, если в начальный момент Vcx=0, то и в последующие моменты Vcx=0 и, следовательно, xc=const, т.е. центр масс системы в этом случае вдоль оси Ox не перемещается.

isopromat.ru

Центр инерции Закон движения центра инерции

2.2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ М.Т.

Доказательства всех общих теорем динамики системы материальных точек (в дальнейшем — механической системы с сокращением — М.С.) начинаются одинаково — с определения сил, действующих на каждую м.т. в рассматриваемой системе.

Определим эти силы следующими двумя предложениями:

Давайте посмотрим, что получится в результате доказательства первой из теорем.

2.2.1. Теорема о движении центра масс мех. системы

Повторим все вышеприведенные предложения; запишем n векторных равенств

(основное уравнение динамики для каждой м.т.) и сложим их.

И используются эти уравнения абсолютно точно так же — то есть для решения первой и второй задач динамики. Подробнее о задачах будет сказано дальше. Здесь же отметим, что записанные уравнения называются также диф. уравнениями поступательного движения твердого тела.

Поступательно движущееся тело в механике рассматривается как материальная точка.

Дифференциальные. уравнения поступательно движущегося тела и м.т., естественно, одинаковы.

При сложном движении твердых тел ( в кинематике сложное движение тела рассматривается как результат сложения поступательного движения и вращательного или сферического) вышеприведенные уравнения описывают поступательную часть движения тела.

Следствия из теоремы о движении центра масс называют

законами сохранения движения или положения центра масс М.С.

Аналогичные следствия с аналогичными формулировками законов сохранения мы получим и из следующих теорем. Поэтому первые законы сохранения мы и сформулируем, и кратко запишем. Формулировки остальных законов сохранения по их кратким записям каждый может и должен для себя получить самостоятельно.

Итак, формулировки законов сохранения движения центра масс имеют следующий вид:

Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то центр масс М.С. либо движется с постоянной по величине и направлению скоростью, либо находится в состоянии покоя.

Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция вектора скорости движения центра масс М.С. на эту ось либо постоянна, либо равна нулю.

Следующие законы сохранения будут записаны только кратко !

Законы сохранения движения центра масс (Ц.М.) позволяют утверждать следующее. Никакие внутренние силы не могут изменить скорость движения Ц.М. М.С. .

Причиной движения могут быть только внешние силы. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости никакое движение (исключая реактивное или по инерции ) невозможно.

Представьте себе новичка на льду или автомобиль, трогающийся с места в сильный гололед. Внешней силой, заставляющей двигаться по горизонтальной плоскости автомобиль или любой другой объект, является сила сцепления колес автомобиля или рассматриваемого объекта с поверхностью.

Рассмотрите самостоятельно, как направлена сила трения, когда двигатель заставляет вращаться колесо, соприкасающееся с плоскостью, при движении автомобиля и как изменяется направление силы трения, если заторможенное колесо перестает вращаться.

И еще некоторые примеры действия законов сохранения.

student-madi.ru